La aplicación del Teorema de Wilson

Question

Probar lo siguiente: $\frac{(p-1)!}{(p-1-a)! a!}= (-1)^a \mod p \ $ $0 \leq a \leq p-1$ $p$ siendo un extraño prime.

Sé que $(p-1)!= -1 \mod p \ $ por Wilson del Teorema pero soy incapaz de completar la prueba.

Answer 1

Vamos $$\frac{(p-1)!}{(p-1-a)!a!}=N.\tag{1}$$ Then $N$ is an integer, for it is the number of ways to choose $$objects from $p-1$ objetos. En la teoría de números, el trabajo con "fracciones" puede ser peligroso, por lo que podemos reescribir (1) como$$ (p-1)!=(p-1-a)!a!N.\tag{2}$$ Tenga en cuenta que $a\equiv -(p-a)\pmod{p}$ $a-1\equiv -(p-a+1)\pmod{p}$ a $1\equiv -(p-1)\pmod{p}$.

Por lo tanto $(p-1-a)!a!$ es congruente a $(-1)^a(p-1)!$ modulo $p$. Llegamos a la conclusión de que $$(p-1)!\equiv (-1)^a(p-1)!N\pmod{p}.$$ Pero $(p-1)!$ es relativamente primer a $p$. Así, por cancelación hemos $N\equiv (-1)^a\pmod{p}$.

Answer 2

$$(p-1)! una! \equiv_p \prod_{k=1+a}^{p-1}(p-k) \prod_{j=1}^j \equiv_p (-1)^{p-1}\prod_{k=1+a}^{p-1}k \prod_{j=1}^j\equiv_p (-1)^{a}(p-1)!$$