Por qué $4a^3+27b^2<0 \iff x^3+ax+b=0$ tiene exactamente tres soluciones?

Question

Según el Exc. 8 Sec. 4.3 del libro Advanced Calculus de Fitzpatrick,

Para los números $a$ y $b$ demuestre que la siguiente ecuación tiene exactamente tres soluciones si y sólo $4a^3+27b^2<0$ : $$ x^3+ax+b=0, \ \ \ \ \ x \ \text{in} \ \mathbb R.$$

Hace tiempo que lucho, no puedo probar ninguna de las dos direcciones. El libro es bastante rudimentario y las discusiones como aquí están fuera del alcance del libro.

Dejemos que $f(x) = x^3 + ax + b$ . Así que $f'(x) = 3x^2 + a$ . Establecer $3x^2 + a = 0$ para que en los puntos $\sqrt{-a/3}$ y $-\sqrt{-a/3}$ , $f'(x) = 0$ . Existen exactamente dos máximos/mínimos debido a la existencia de $3$ soluciones. Estos $2$ max/min debe estar en $x = \sqrt{-a/3}$ y $x = -\sqrt{-a/3}$ . Tenga en cuenta que debe $a<0$ . También debe $f(-\sqrt{-a/3}) > 0$ y $f(\sqrt{-a/3})<0$ . Poniendo $\pm \sqrt{-a/3}$ en $f(x)$ No llego a la conclusión de que $4a^3 + 27b^2 < 0$ . Como, $$-(-a/3)^{3/2}-a(-a/3)^{1/2}+b>0 \\ (-a/3)^{3/2}+a(-a/3)^{1/2}+b<0$$ resultados en $a<0$ y nada más.

¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Un polinomio de tercer grado $p(x)=x^3+ax+b$ tiene tres raíces reales si tiene dos puntos estacionarios $x_1,x_2$ y $p(x_1)\,p(x_2)<0$ . Estos puntos estacionarios se encuentran en las raíces de $p'(x)=3x^2+a$ Por lo tanto, en $\pm\sqrt{-\frac{a}{3}}$ ( $a<0$ es una condición necesaria, de lo contrario $p(x)$ es una función creciente y tiene una sola raíz real). Por otro lado,

$$\begin{eqnarray*} p(x_1)\,p(x_2)&=&p\left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)p\left(-\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)\\&=&\left(b+\sqrt{-\frac{a}{3}}\left(a-\frac{a}{3}\right)\right)\left(b-\sqrt{-\frac{a}{3}}\left(a-\frac{a}{3}\right)\right)\\&=&b^2+\frac{a}{3}\left(\frac{2a}{3}\right)^2=\color{red}{b^2+\frac{4a^3}{27}}.\end{eqnarray*} $$

Answer 2

Dejemos que $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ sean las raíces, entonces $\alpha+\beta+\gamma=0$ .

El discriminante:

\begin{align*} \Delta &= (\alpha-\beta)^2(\alpha-\gamma)^2(\beta-\gamma)^2 \\ &= -27\alpha^2 \beta^2 \gamma^2- 4(\beta \gamma+\gamma \alpha+\alpha \beta)^3 \\ &= -27b^2-4a^3 \end{align*}

Para los coeficientes reales $a$ , $b$ pero con las raíces complejas, hay dos raíces que se conjugan.

Diga $\beta=\bar{\gamma}=u+vi$ entonces

\begin{align*} \Delta &= (\alpha-u-vi)^2(\alpha-u+vi)^2(2vi)^2 \\ &= -4v^2[(\alpha-u)^2+v^2]^2 \\ &< 0 \\ 4a^3+27b^2 &> 0 \\ \end{align*}

Para tres raíces reales, $$\Delta \ge 0 \implies 4a^3+27b^2 \le 0$$

Answer 3

Para el cúbico general, la teoría es la siguiente:

Dejemos que $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$

Entonces $\dfrac{dp}{dx}=3x^2+2ax+b$

Necesitamos las dos soluciones de $\dfrac{dp}{dx}=0$ , a saber $r_1, r_2$ y que $p(r_1)p(r_2)\lt0$ es decir, los dos puntos estacionarios están a ambos lados de la $x$ -eje.

Resolver los puntos estacionarios, $\dfrac{-2a\pm\sqrt{4a^2-12b}}{6}=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-3b}}{3}$

Algunos resultados preliminares:

$r_1r_2=\dfrac b 3\qquad;\qquad r_i^2=\dfrac{2a^2-3b\pm2a\sqrt{a^2-3b}}{9}$

Poniendo todo junto, requerimos:

$(r_1(r_1^2+ar_1+b)+c)(r_2(r_2^2+ar_2+b)+c)\lt0$

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Si dejamos que $a=0$ obtenemos el resultado de Jack.