Prueba de verificación: Si $a \equiv b (mod$ $n)$, entonces $a^3 \equiv b^3 (mod$ $n)$

Question

Alguien esté dispuesto a comprobar la siguiente prueba?

Teorema: Supongamos $a, b \in \mathbb{Z}; n \in \mathbb{N}$. Si $a \equiv b (mod$ $n)$, entonces $a^3 \equiv b^3 (mod$ $n)$.

Prueba:

$a \equiv b (mod$ $n) \rightarrow xn = a - b; x \in \mathbb{Z}$

$\rightarrow a = xn + b$

A continuación, $a^3 = (xn)^3 + 3b(xn)^2 + 3b^2(xn) + b^3$.

Esto nos da $a^3 - b^3 = (xn)^3 + 3b(xn)^2 + 3b^2(xn) = n(x^3n^2 + 3bx^2n + 3b^2x)$

$n | n(x^3n^2 + 3bx^2n + 3b^2x) \rightarrow n | (a^3 - b^3)$

Por lo tanto $a^3 \equiv b^3 (mod$ $n)$.

Answer 1

La publicación de la prueba es correcta. Podría ser incluso más fácil, sin embargo, para probar primero el más general:

$$ un \equiv b \pmod{n} \quad\text{y}\quad' \equiv b' \pmod{n} \quad \implica \quad \cdot un' \equiv b \cdot b' \pmod{n}\quad $$

La prueba se va de la misma: $a\cdot a' = (xn+b)\cdot(x'n+b')=b\cdot b'+n\cdot (x\cdot b'+ x' \cdot b+n\cdot x\cdot x')\,$.

Entonces, usando la proposición con $a'=a, b'=b$ da $a \equiv b \implies a^2 \equiv b^2 \implies a^3 \equiv b^3 \pmod{n}$.

Answer 2

La prueba es correcta.

Usted pudo haberse detenido en $a^3=b^3+kn$, no importa si $k$ tiene un complicado expresión, si es un entero,$a^3\equiv b^3\pmod n$.

Sin embargo, observe que puede factorizar $xn$, y que $xn=a-b$.

Por lo tanto $a^3-b^3\equiv(a-b)(a^2+ab+b^2)\equiv 0\pmod n$ desde $(a-b)\equiv 0\pmod n$.

Usted no está obligado a volver a la definición de cada vez, trate de usar modular de cálculo directamente así, es poderoso.