Encontrar la limitación de la distribución de la Suma de la Suma de Cuadrados de

Question

Teniendo un poco de problemas con esto:

Supongamos $X_1, X_2, \ldots $ son iid aleatoria normal estándar de las variables. Deje $W_n = \sqrt{n} \frac{X_1 + \cdots + X_n}{X_1^2 + \cdots + X_n^2}$. Encontrar el límite de distribución de $W_n$$n \to \infty$.

Lástima que la convergencia en distribución no es cerrado bajo la división. No se puede obtener slutsky a aplicar.

Answer 1

Observe que $\frac{X_1 + X_2 + \ldots+ X_n}{\sqrt n}$ es un estándar de una variable gaussiana. A continuación, aplicar Slutsky del teorema.

Answer 2

El numerador está normalmente distribuida con una media de $0$ y la varianza $n$, y el denominador se distribuye $\chi^2$ $n$ grados de libertad. Empezar por ahí.

Answer 3

Podemos encontrar el resultado de la ley de los grandes números y teorema central del límite, de la escritura $$W_n=\color{blue}{\frac n{\sum_{j=1}^nX_j^2}}\cdot\color{red}{\frac 1{\sqrt n}\sum_{j=1}^nX_j}.$$ El azul término converge a $E(X_1^2)^{-1}$ de probabilidad por la ley de los grandes números.