Derivada de $n!$ (factorial)?

Question

Tengo una teoría que utiliza la función gamma:

$$\Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x} \space dx$$

Luego pensé que quizás la derivada es:

$$x^{n-1}e^{-x}$$

Pero no estoy seguro de si podemos simplemente eliminar la integral junto con los límites para obtener la derivada. Entonces pensé en tomar el límite:

$$\lim_{x\to\infty}x^{n-1}e^{-x}$$

Pero ahora no podemos especificar a qué valor de $x queremos obtener la tasa de cambio. En este punto siento que no puedo avanzar más por mí mismo y agradecería alguna idea.

EDITAR: En realidad, buscando la derivada en términos de $n$.

Answer 1

Aquí tienes cómo calcularlo: tienes que mover la derivada dentro de la integral: \begin{align} \frac{d}{dn}\Gamma(n) &=\frac{d}{dn}\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\,dx\\ &=\int_0^\infty \frac{d}{dn}x^{n-1}e^{-x}\,dx\\ &=\int_0^\infty e^{-x}\frac{d}{dn}e^{(n-1)\ln(x)}\,dx\\ &=\int_0^\infty e^{-x}\cdot e^{(n-1)\ln(x)}\ln(x)\,dx\\ &=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\ln(x)\,dx\\ \end{align} y así tenemos $$\Gamma'(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\ln(x)\,dx$$