Enumera los primos para los que el siguiente sistema de ecuaciones lineales NO tiene solución en $\mathbb{Z}_p$

Question

Dejemos que $p$ sea un primo y considere el campo $\Bbb Z_p$ . Enumere los primos para los que el siguiente sistema de siguiente sistema de ecuaciones lineales no tienen una solución en $\Bbb Z_p$ :

$$ \begin{align} 5x + 3y &= 4 \tag{1}\\ 3x + 6y & = 1\tag{2} \end{align}$$

Mi intento es el siguiente:

El determinante de la matriz de coeficientes es $21$ . $21$ será 0 si $p=3$ o $7$ . Así que la respuesta será $3$ y $7$ . ¿es correcto?

Answer 1

Nota $\rm\ 2\,(1)\! -\! (2)\to 7\,x = 7.\:$ $\rm\ x = 1\:$ en $\rm(1)\to 3\,y=-1,\:$ así que $\rm\:(x,y) = (1,-\frac{1}3)\:$ es una solución si $\rm\:p\ne 3.\:$ Si no $\rm\:p = 3\:$ así que $\,(2)\,$ es $\rm\:1 = 3\,x+6\,y\equiv 0.\:$ Por lo tanto, no existen soluciones $\rm\iff p = 3.\ \ $ QED

Nota $\ $ Dado que uno de los coeficientes de $\rm\,y\,$ es un múltiplo del otro, es decir $\rm\:3\:|\:6,\:$ esto hace que sea fácil de eliminar $\rm\,y.\:$ Por eso he optado por eliminar $\rm\,y\,$ en lugar de $\rm\,x.\,$ Esto no es cierto para $\rm\,x,\,$ por lo que es más trabajo eliminar $\rm\,x\,$ (ver la otra respuesta), lo que lleva a una aritmética más compleja, aumentando así la posibilidad de errores. Este tipo de preprocesamiento suele simplificar mucho estos cálculos, por lo que merece la pena buscar estas optimizaciones antes de lanzarse a calcular.

Answer 2

Formar la matriz de coeficientes extendida y aplicar la reducción de Gauss en la medida de lo posible.

Para empezar, si $\,p=5\,$ entonces la primera ecuación es $\,3y=4\Longrightarrow y=4\cdot 3^{-1}=4\cdot 2=3\,$ y sustituyendo en la ecuación 2 obtenemos $\,3x+3=1\Longrightarrow 3x=-2=3\Longrightarrow x=1\,$ , por lo que hay una solución única: $\,(1,3)\,$

Si $\,p\neq5\,$ obtenemos

$$\begin{pmatrix}5&3&4\\3&6&1\end{pmatrix}\stackrel{R_1/5}\longrightarrow \begin{pmatrix}1&3/5&4/5\\3&6&1\end{pmatrix}\stackrel{R_2-3R_1}\longrightarrow \begin{pmatrix}1&3/5&4/5\\0&21/5&-7/5\end{pmatrix}$$

De aquí obtenemos

$$R_2\Longrightarrow \frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}\Longrightarrow 21y=-7\stackrel{\text{if}\,\,p\neq 3}\Longrightarrow y=-\frac{7}{21}=-\frac{1}{3}$$

y luego

$$R_1\Longrightarrow x+\frac{3}{5}y=\frac{4}{5}\Longrightarrow x=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\frac{1}{3}=1$$

y la solución para $\,p\neq 3,5\,$ es $\,\displaystyle{\left(1\,,\,-\frac{1}{3}\right)}\,$

Cuando $\,p=3\,$ el sistema es claramente incoherente (¡cuidado con la segunda ecuación!), mientras que para $\,p=7\,$ como muestra el proceso de reducción que hemos llevado a cabo al final en la segunda fila $\,(0\,,\,0\,,\,0)\,$ obtenemos una única ecuación (linealmente independiente) en dos incógnitas y, por tanto, hay varias soluciones: cada par de la forma

$$\left(x\,,\,y\right)\,\,\,,\,\,s.t.\,\,\,5x+3y=4\pmod 7$$