Mostrar $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1+\sin(k)}{2}\right)^k$ aleja

Question

Espectáculo$$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1+\sin(k)}{2}\right)^k$$diverge.

Sólo va hacia abajo en la lista, las siguientes pruebas no funcionan (o he fallado en el uso de ellos correctamente) porque:

• $\lim \limits_{k\to\infty}a_k\neq0$ - El límite es difícil de evaluar.
• $\lim \limits_{k\to\infty}\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1$-Límite no converge; no son concluyentes.
• $\lim \limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}>1$-Límite no converge; no son concluyentes.
• $\int \limits_{1}^{\infty}a_k\,dk$- ¿Cómo puedo hacer esto.
• Existe una $|b_k|\geq|a_k|$ $\sum b_k$ converge-No pueden pensar en un $b_k$.
• $\lim \limits_{k\to\infty}\cfrac{a_k}{b_k}$ existe y $\sum b_k$ converge - No puede pensar de cualquier $b_k$.

¿Puedo tener un poco de ayuda?

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Vamos a demostrar que no existe ninguna $\delta$ o el correspondiente $\epsilon$, de modo que $k>\delta$ implica$$\left|\left(\frac{1+\sin(k)}{2}\right)^k-\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\sin(n)}{2}\right)^n\right|<\epsilon$$

Deje que el primer término se denota $a_k$ y el segundo $L$ (de límite). Elegir el menor número de $|a_{\frac{3\pi}2}-L|$ o $|a_{\frac\pi2}-L|$. Lo que fue elegido (indicar opción como $\epsilon$), es claro que el establecimiento $k:=k+\pi$, que es mayor que $\delta$, producirá un resultado tal que $|a_k-L|\geq\epsilon$.

Por lo tanto, el límite no existe, y la suma diverge.

EDITAR DE NUEVO

La prueba anterior no es bueno. Más ayuda pls. No puedo entender esto.

Answer 1

El truco es usar el clásico teorema de Hurwitz en la aproximación racional de irrationals, que hay infinidad de $m,n$ $|\frac\pi2-\frac{m}{n}|\lt\frac1{n^2}$ (más específicamente, usted necesita infinitamente muchas de esas parejas con $n\equiv 1\bmod 4$, pero este resultado se conoce; ver más abajo). Cualquier pair $|m-\frac{n\pi}{2}|\lt\frac1n\lt\frac2m$; pero, a continuación, $\sin(\frac{n\pi}{2}) = 1$ (esto es donde la restricción en $n$ proviene), y por la rápida aplicación de la adición de identidad para el pecado o el valor medio teorema, obtenemos $\sin(m)\gt1-\frac2m$ para cualquier par. Esto significa que infinitamente a menudo tenemos $\frac{1+\sin(m)}{2}\gt1-\frac1m$, e $\left(\frac{1+\sin(m)}{2}\right)^m\gt\left(1-\frac1m\right)^m$, y usted debería ser capaz de limitar el lado derecho de esta distancia a partir de cero. Esto significa que usted ha encontrado una infinidad de $a_m$ apartó desde cero, y eso es suficiente para mostrar la divergencia.

ADVERTENCIA IMPORTANTE: como @robjohn señala en los comentarios, no es tan fácil como pensé en un primer momento para obtener la Hurwitz resultado arbitrario de residuos de clase! El papel ", relativa A La Aproximación De Números Irracionales Con Racionales Restringido Por la Congruencia de las Relaciones" nos da el siguiente resultado:

Para cualquier número irracional $\xi$ cualquier $s\geq 1$, y cualquier enteros $a$ y $b$, hay infinitamente muchos enteros $u,v$ satisfactorio $\left|\xi-\frac uv\right|\lt \frac{2s^2}{v^2}$ $u\equiv a\pmod s$ $v\equiv b\pmod s$.

Podemos tomar $\xi=\frac\pi2$, $s=4$, $b=1$ aquí y obtener una infinidad de $u,v$$\left|\frac\pi2-\frac uv\right|\lt\frac{8}{v^2}$$v\equiv 1\pmod 4$; esto es un factor de 8 de distancia a partir del resultado anterior, pero es todavía lo suficientemente bueno para darle infinidad de $m$ $\left(\frac{1+\sin(m)}{2}\right)^m\gt\left(1-\frac8m\right)^m$ y que es lo suficientemente bueno como para dar un salto de distancia de cero y probar divergencia.

Answer 2

Hay un "ahorro de energía" de $\sqrt{n}$, en nuestro favor, en comparación con el habitual Diophantine aproximación a los problemas, a causa de la cuadrática a la llanura de $\sin(x)$ cerca de sus máximos. [Actualizado: pero esto podría no ser un gran ahorro de conseguir alrededor de la utilización de sofisticados argumentos. El análisis está todavía en progreso.]

Si $k \mod 2\pi = \frac{\pi}{2} + u$ pequeña $u$, $1 - \sin(k)$ es de orden $u^2$. De hecho,$\frac{1+\sin k}{2} \sim (1 - \frac{u^2}{4})$, pero la constante $1/4$ es irrelevante. La divergencia prueba de lo que nos gustaría saber es si $u = u_k$ es infinitamente a menudo lo suficientemente pequeño como para que $(1 - u_k^2)^k$ está acotada por debajo, es decir, es $ku_k^2$ acotada. El equivalente de Diophantine pregunta es

qué $\frac{\pi}{2}$ tiene infinidad de aproximaciones racionales $\frac{k}{4n+1}$ exacto (hasta un factor constante) dentro de $\frac{1}{n\sqrt{n}}$?

Esto es más débil que el $O(n^{-2})$ aproximación de fracciones continuas y encasillar a los argumentos y sugiere la posibilidad de un contacto más directo de la construcción.

Originalmente escribí $1/\sqrt{n}$ como el requisito de exactitud, que es demasiado fácil. Nada de lo $1/n$ o más grande tiene una construcción simple. Si $n^{-u}$ $u \in (1,2)$ puede ser alcanzada sin exponencialmente delgada subsecuencias (tales como fracciones continuas) parece una pregunta muy interesante.

Answer 3

Puede mostrar que diverge con la primera condición, el límite de $a_k$ $k\to\infty$. No es necesario calcular el límite. Necesita mostrar que o bien no existe o si existe no es 0. En este caso el límite no existe (? ver los comentarios de abajo)