Demostrando que $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=L$ implica $\lim\limits_{r\to 0}\frac {\int_R f(ry)h(y)\,dy}{\int_R g(ry)h(y)dy}=L$

Question

Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones definidas en una vecindad de $0$ en $\Bbb R$ , de tal manera que $g(x)\neq 0$ en este barrio.

Demostrar que para todos los $L\in[-\infty,+\infty]$ y para todas las funciones no negativas $h$ con soporte compacto tal que $\int_{\Bbb R} h(y) \,\mathrm dy=1$ :

$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=L\quad\text{implies that}\quad \lim_{r\to 0}\frac {\int_{\Bbb R} f(ry) h(y)\,\mathrm dy}{\int_{\Bbb R} g(ry)h(y)\,\mathrm dy}=L$$

Answer 1

Dejemos que $[-K,K]$ denotan algún intervalo acotado que contiene el soporte de $h$ . Supongamos primero que $L$ es finito, entonces para cada $u\lt L\lt v$ existe alguna $z$ tal que $u\lt f(t)/g(t)\lt v$ por cada $|t|\lt z$ . Añade a las hipótesis del post la hipótesis (H):

(H) $g(t)\gt0$ por cada $|t|$ lo suficientemente pequeño.

Entonces, para cada $|t|\lt z$ , $ug(t)\lt f(t)\lt vg(t)$ . Así, para cada $|r|\lt z/K$ y para cada número real $t$ , $ug(rt)h(t)\leqslant f(rt)h(t)\leqslant vg(rt)h(t)$ (esto utiliza la hipótesis de que $h\geqslant0$ en todas partes). Integrando esto y utilizando una vez más la no negatividad de $g$ y $h$ se ve que la relación $$ A(r)=\frac{\int_\mathbb Rf(rt)h(t)\mathrm dt}{\int_\mathbb Rg(rt)h(t)\mathrm dt}, $$ es tal que $u\leqslant A(r)\leqslant v$ por cada $|r|\leqslant z/K$ . Desde $u$ y $v$ puede estar tan cerca de $L$ como uno quiera, esto demuestra la afirmación de que $A(r)\to L$ cuando $r\to0$ . Si $L=+\infty$ o $L=-\infty$ , copie esta prueba, sustituyendo $(u,v)$ por $w$ suficientemente grande y del signo de $L$ .

Para un contraejemplo cuando (H) falla, considere $h=\mathbf 1_{[-1/2,1/2]}$ y $f(t)=t+t^2$ y $g(t)=t+t^4$ si $t\ne0$ . Entonces $L=1$ y $$ \int_\mathbb Rf(rt)h(t)\mathrm dt=\frac{r^2}{12},\qquad \int_\mathbb Rg(rt)h(t)\mathrm dt=\frac{r^4}{80}, $$ por lo que $A(r)\to+\infty$ cuando $r\to0$ . Para obtener el límite $A(r)\to0$ cuando $r\to0$ , intercambia las funciones $f$ y $g$ .