El Whitney esfera de inmersión

Question

La unidad estándar de la esfera $S^n = \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \mid \lvert x \rvert^2 + y^2 = 1\}$ puede ser sumergido en el interior de $\mathbb C^n$ a través de la fórmula de $(x,y) \mapsto (1+iy)x$. Esta es una de Lagrange de inmersión con un doble punto en los polos $(0,\pm 1)$. En el caso especial $n = 1$, esto produce un figura 8 en el plano.

¿Cuál es una manera fácil de ver que esta fórmula de hecho el rendimiento de una inmersión?

El caso de $n = 1$ es bastante fácil, pero las cosas se ponen feas para arbitrario $n$. He intentado usar generalizada coordenadas esféricas, pero la matriz de la diferencial en estas coordenadas es desagradable, y es claro para mí por qué tiene máximo rango. Alternativamente, visto como un mapa de $\mathbb R^{n+1} \to \mathbb R^{2n}$, la inmersión tiene un buen diferencial, pero estas coordenadas rectangulares no están adaptados a la tangente del paquete de la esfera.

Answer 1

Es más fácil dividir en dos casos.

Al $y\neq 0$, la $\mathbb S^n_\pm = \{((x, y)\in \mathbb S^n: \pm y>0\}$ admite gráficos de $\phi_\pm:D(1) \to \mathbb S^n$

$$\phi_{\pm} (x)= (x, \pm \sqrt{1-|x|^2}) $$

Según este gráfico, la inmersión $W(x,y)= (1+iy)x$ es

$$ W\circ \phi_\pm (x) = (1\pm i\sqrt{1-|x|^2}) x = x \pm i x \sqrt{1-|x|^2},$$

lo que es claramente una inmersión, ya que es un gráfico de $x\mapsto (x, f(x))$ (tratamiento de la $\mathbb C^n = \mathbb R^n \oplus \mathbb R^n$ aquí). Tenga en cuenta que desde aquí también se muestra que $W$ es de Lagrange como $$\pm x\sqrt{1-|x|^2} = \pm \frac 13\nabla (1-|x|^2)^{3/2}.$$

Cuando $y = 0$, $W(x, 0) = x$. Es muy claro que se trata de una inmersión al $W$ está restringido a la línea ecuatorial $\{(x, y): y=0\}$. Así que basta de verificación $(W_*)_{(x,0)} (0,\cdots, 0, 1)$. Por definición de la diferencial,

$$\begin{split} (W_*)_{(x,0)} (0,\cdots, 0, 1)&= \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} W((\cos t)x, \sin t ) \\ &= \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} (1+ i\sin t) (\cos t) x \\ &= ix. \end{split}$$

Tenga en cuenta que esto implica $(W_*)_{(x,0)}$ también es inyectiva como $i x$ se encuentra fuera de la real $n$ avión $\mathbb R^n \oplus \{0\}$ (cuando todos los demás $(W_*)_{(x,0)} (v)$ vive para $v$ en la tangente del paquete de la línea del ecuador)

Answer 2

Bueno, me siento un poco tonto. De hecho se puede utilizar el diferencial del mapa de $\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{2n}$ a concluir. Este diferencial en el punto de $(x,y) \in S^n \subset \mathbb R^{n+1}$ está dado por $(u,v) \mapsto (u,yu+vx) \in \mathbb R^{2n}$ ($u \in \mathbb R^n$, $v \in \mathbb R$). Si este es cero,$u = 0$$vx = 0$, y si $x = 0$, entonces estamos en uno de los polos $(0,\pm 1)$, y debemos tener $v=0$ a tener un vector tangente allí. Por lo tanto, el diferencial es inyectiva.