Todo esto es conocido en detalle por un general de extensión de la $\Bbb Q(\sqrt[3] n\,)$, pero no para mí. Sólo puedo hacer las observaciones pertinentes para esta extensión en particular, con $n=10$.
Para salvar a escribir, voy a escribir $\sqrt[3]{10}=\rho$. El polinomio mínimo de a$a+b\rho+c\rho^2$$X^3-3aX^2+(3a^2 - 30bc)X+(-a^3 + 30abc - 10b^3 - 100c^3)$, donde he puesto el término constante en el paréntesis para aislar, como la norma de la general irracional cantidad.
A partir de esto, resulta que el polinomio característico de a$(1+\rho+\rho^2)/3$$X^3-X^2-3X-3$. Vamos a llamar a que la irracionalidad $\tau$, y voy a llamar a su polinomio característico no $f(X)$. Debido a $f$ tiene coeficientes enteros, $\tau$ es un entero algebraico.
Usted puede encontrar el discriminante de el anillo de $\Bbb Z[\tau]$ como el valor absoluto de la norma abajo a$\Bbb Q$$f'(\tau)$. Este resulta ser $300$, un número muy agradable, porque ahora puedo argumentar que $\Bbb Z[\tau]$ es el anillo de enteros $\mathcal O$$\Bbb Q(\rho)$. Es contenida en $\mathcal O$, debido a que es generado por un entero algebraico, y cualquier anillo más grande tendrá discriminante que varía de $300$ por una plaza en $\Bbb Z$. Pero si usted divide $300$ por cualquier plaza, ya sea que usted recibe un no entera, o algo que no es divisible por todos los números primos $2$, $3$, y $5$, que debe aparecer en el discriminante porque todos son ramificados,$\Bbb Q(\rho)$.
Por lo que este le dice que las cosas en $\Bbb Q(\sqrt[3]{10}\,)$ algebraicos son números enteros, y yo voy a dejar a usted para obtener condiciones en $a$, $b$, y $c$ que son equivalentes a la integralidad de la $a+b\sqrt[3]{10} + c\sqrt[3]{100}$.
Una aclaración más: a pesar de que utiliza un paquete de cómputo para obtener la característica de polinomios rápidamente, todos los cálculos que he usado puede ser hecho a mano. Lo sé, porque lo he hecho así en el pasado. Y como un firme creyente en los beneficios que se derivan de la mano de cálculo, se lo recomiendo a todos.
