Es fácil ver que $1 + z + z^2 + \cdots$ es igual a $\frac{1}{1-z}$ al$1 > z > 0$$z >= 1$, que no son equivalentes. Así que he pensado en $\frac{1}{1-z}$ es sólo un corto para la fórmula más compleja $1 + z + z^2 + \cdots$ y no tiene nada que ver con el valor de la función. Pero más tarde, cuando veo a algunos materiales acerca de la generación de función (por ejemplo, la analítica de la combinatoria), me parece que la gente también hacer algunas operaciones de álgebra en la generación de función. Por ejemplo, para el problema de cuántos árboles hay con $N$ nodos, la generación de la función es $G(z) = z(1 + G(z) + G(z)^2 + \cdots)$ e lo $G(z)=\frac{z}{1-G(z)}$. Yo lo tengo a $\frac{1}{1-G(z)}$ es sólo un corto de $1 + G(z) + G(z)^2 + \cdots$ aquí y todas las cosas se ven bien. Para obtener la forma cerrada de $G(z)$, sin embargo, se transforman $G(z)=\frac{z}{1-G(z)}$$G(z)-G(z)^2=z$, que es un álgebra de operación. Sabemos que $1 + G(z) + G(z)^2 + \cdots$ $\frac{1}{1-G(z)}$ no son necesariamente los mismos. Así es la solución después de la resolución de $G(z)-G(z)^2=z$ exactamente el $G(z)$ esperamos?
Respuestas
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Usted está tratando con formal de alimentación de la serie, por ejemplo, con coeficientes reales; en realidad, los coeficientes podría estar en cualquier anillo conmutativo, supongamos por simplicidad, es un campo o, si se prefiere, de los números reales.
El poder formal de la serie de formar un anillo que contiene el anillo de polinomios en una variable como un sub-anillo. Además se definen las componentes, mientras que la multiplicación se define con la convolución (o de Cauchy producto): $$ \biggl(\,\sum_{n\ge0}a_nz^n\biggr)\biggl(\,\sum_{n\ge0}b_nz^n\biggr)=\sum_{n\ge0}c_nz^n $$ donde $$ c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\qquad(n\ge 0) $$ Uno puede comprobar que todos los axiomas de anillo están satisfechos. Ahora, teniendo en cuenta $1-z$ como el poder formal de la serie en la que todos los coeficientes de $z^n$ cero de $2$ en adelante, $$ (1-z)\sum_{n\ge0}z^n= \sum_{n\ge0}z^n-\sum_{n\ge1}z^n=1 $$ por lo $1-z$ es la inversa de a $\sum_{n\ge0}z^n$ en el anillo de poder formal de la serie, en la que se justifica la escritura $$ \sum_{n\ge0}z^n=\frac{1}{1-z} $$
La convergencia no es tomado en consideración.
El razonamiento con $$ G(z)=z(1+G(z)+G(z)^2+\dotsb) $$ puede ser justificada por la consideración de los anillos de poder formal de la serie con coeficientes en el anillo de poder formal de la serie. Un poco complicado, pero no es tan difícil tampoco.
Generación de funciones formales de alimentación de la serie, que en esencia significa que no estamos preocupados con la analítica de los problemas de convergencia. (El símbolo $z$ no está diseñado para resistir un número complejo, o cualquier otro tipo de número, para que la materia.)
Poder Formal de la serie de hacer compatible con la mayoría de las operaciones algebraicas que está familiarizado con, incluyendo la manipulación de la forma cerrada "corta", tales como $$ 1 + z + z^2 + \cdots = \frac{1}{1 - z}. $$
