Las Pruebas De Los Ceros De La Hipótesis De Riemann

Question

Yo estaba en Mathworld hace algún tiempo cuando leí esto de http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html:

La hipótesis de Riemann fue computacionalmente probado y se ha encontrado para ser verdad por primera 200000001 ceros por Brent et al. (1982), que abarca los ceros sigma+en la región 0 < t < 81702130.19.

Mi pregunta es: ¿Cómo puede usted estar seguro de que no te olvidaste de los ceros de la izquierda? A mí me parece que es imposible porque para cualquier fijo de t uno tendría que buscar todos los bienes sigma valores entre 0 y 1. E incluso si había alguna manera de hacer que uno necesitaría para poner a prueba todos los valores reales de t entre 0 y 81702130.19. Tienen una lista de "candidatos ceros" que acaban de probar?

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $N(T)$ el número de no-trivial ceros a la altura $T$ : $N(T) = \#\{ \rho \ \mid \ 0 < Im(\rho) < T \ \}$ y $N_0(T)$ aquellas que se encuentran en la línea crítica. La hipótesis de Riemann es que $N(T) = N_0(T)$ por cada $T$.

• usted necesita entender la funcional de la ecuación de $\xi(s) = \xi(1-s)$ donde $\xi(s) = A(s) \zeta(s)$ $A(s) = \frac{1}{2}s (s-1) \pi^{-s/2} \Gamma(s/2)$. Junto con $\xi(s) = \overline{\xi(\overline{s})}$ muestra que $\xi(1/2+it)$ es real. Por lo tanto se tiene un cero en cada cambio de signo.

• y el argumento de principio mostrando que $$2 N(T) = \frac{1}{2i\pi} \oint_{\begin{array}{l}2- i T\to 2+ i T \to\\ -1+iT \to -1-iT \to 2-iT\end{array}} \frac{\xi'(s)}{\xi(s)}ds = \frac{2}{\pi}\text{arg } A(1/2+iT) + \frac{2}{\pi} \text{arg } \zeta(1/2+iT)$$ donde $\text{arg } f(s) = \text{Im}(\log f(s))$ está definido por partida con $\text{arg } f(2) = 0$, y siguiendo $\log f(s)$ analíticamente en $2+it, t \in [0,T]$, y, a continuación, en $\sigma+iT,\sigma \in [2,1/2]$ (asumiendo $f(s)$ no tiene ningún cero en $Re(s) > 1$ $Im(s) = T$ y $f(2) > 0$)

Todo se explica, por ejemplo, en Titchmarsh del libro "la teoría de Riemann zeta función", y de cómo estimar todos estos en la práctica para el primer par de ceros, el uso de la función de $Z(t)$. Al final, usted puede enlazado $N(T)$ $N_0(T)$ dentro de una precisión $< 1/2$, y demostrar que son iguales.