Demostrar que $\sum_{n = 1}^{n = s} n^2 \ne \sum_{n = t}^{n = u} n^2$

Question

Donde $t > s$ y $s,t,u,n$ son enteros positivos. La desigualdad es mi afirmación. Llegué a esto mientras jugueteaba con cosas. Probé varias cosas pero no tuve suerte.

Answer 1

La afirmación no es cierta: si $s=24$ y $t=u=70$ entonces $$ \sum_{n=1}^{24}n^2=4900=70^2 $$

Esta es la única solución para $s<t=u$ : ver aquí .

Answer 2

La fuerza bruta encontró un ejemplo con $(s,t,u)=(3535,45871,45877)$ .

Tras esta solución inicial, amplié mi búsqueda y encontré muchas más.

El más pequeño $s$ que he encontrado es $(s,t,u)=(42,46,55)$ .

A partir de los datos, deduje dos conjuntos infinitos de soluciones:

$$(s,t,u)=(12d^2(d-1)+d,24d^4-36d^3+12d^2+d,24d^4-36d^3+12d^2+2d-1)$$

y:

$$(s,t,u)=(12d^2(d+1)+d-1,24 d^4 + 36 d^3 + 12 d^2 - 2 d ,24 d^4 + 36 d^3 + 12 d^2 - d-1)$$ Con Wolfram Alpha, he comprobado que estas respuestas siempre funcionan.

Luego hay ocasionalmente otros casos "excepcionales" fuera de estos patrones.

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Tú quieres:

$$\frac{s(s+1)(2s+1)}{6}=\frac{u(u+1)(2u+1)}6-\frac{t(t-1)(2t-1)}{6}$$

o, para $p(x)=x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$ :

$$p(s)=p(u)-p(t-1)$$

Si $a=t-1$ y $d=u-(t-1)$ entonces:

$$\begin{align}p(u)-p(t-1)&=p(a+d)-p(a)=p'(a)d+\frac{1}{2}p''(a)d^2+\frac{1}6p'''(a)d^3\\ &=(6a^2+6a+1)d+(6a+3)d^2+2d^3\\ &=(6d)a^2+6(d^2+d)a+p(d)\end{align}$$

Así que $6d\mid p(s)-p(d)$ y entonces usted necesita una solución para:

$$a^2+(d+1)a-\frac{p(s)-p(d)}{6d}=0$$

Así que necesitas $(d+1)^2+4\frac{p(s)-p(d)}{6d}$ para ser un cuadrado perfecto.

Mi instinto es intentar $d=7$ ya que $d=1$ se sabe que tiene solución, y $7\equiv 1\pmod{6}$ . Entonces $p(d)=840,$ y a ti: $$8^2+\frac{2}{21}(p(s)-840)=\frac{2p(s)}{21}-16$$

Yo fuerza bruta con un script de python de allí, suponiendo que $s$ era múltiplo de $d=7$ .

Después de encontrar ese primer ejemplo, probé muchos valores diferentes de $d$ comprobando los valores de $s$ hasta $1,000,000.$

Aquí tienes más soluciones. Parece que hay dos soluciones para cada uno $d>1$ que tienen $s$ creciendo exponencialmente en $d$ y para algunos $d$ hay valores más pequeños $s$ .

d=2
(s,t,u)=(50, 146, 147)
(s,t,u)=(145, 716, 717)
d=3
(s,t,u)=(219, 1083, 1085)
(s,t,u)=(434, 3018, 3020)
d=4
(s,t,u)=(580, 4036, 4039)
(s,t,u)=(963, 8632, 8635)
d=5
(s,t,u)=(1205, 10805, 10809)
(s,t,u)=(1804, 19790, 19794)
d=6
(s,t,u)=(2166, 23766, 23771)
(s,t,u)=(3029, 39300, 39305)
d=7
(s,t,u)=(136, 345, 351)
(s,t,u)=(3535, 45871, 45877)
(s,t,u)=(4710, 70546, 70552)
d=8
(s,t,u)=(5384, 80648, 80655)
(s,t,u)=(6919, 117488, 117495)
d=9
(s,t,u)=(7785, 132201, 132209)
(s,t,u)=(9728, 184662, 184670)
d=10
(s,t,u)=(42, 46, 55)
(s,t,u)=(10810, 205210, 205219)
(s,t,u)=(13209, 277180, 277189)
d=11
(s,t,u)=(417, 1480, 1490)
(s,t,u)=(14531, 304931, 304941)
(s,t,u)=(17434, 400730, 400740)
d=12
(s,t,u)=(124, 226, 237)
(s,t,u)=(19020, 437196, 437207)
(s,t,u)=(22475, 561576, 561587)
d=13
(s,t,u)=(24349, 608413, 608425)
(s,t,u)=(28404, 766558, 766570)
d=14
(s,t,u)=(126, 213, 226)
(s,t,u)=(189, 396, 409)
(s,t,u)=(8981, 131334, 131347)
(s,t,u)=(30590, 825566, 825579)
(s,t,u)=(35293, 1023092, 1023105)
d=15
(s,t,u)=(37815, 1096215, 1096229)
(s,t,u)=(43214, 1339170, 1339184)
d=16
(s,t,u)=(46096, 1428496, 1428511)
(s,t,u)=(52239, 1723360, 1723375)
d=17
(s,t,u)=(55505, 1831121, 1831137)
(s,t,u)=(62440, 2184806, 2184822)
d=18
(s,t,u)=(66114, 2313378, 2313395)
(s,t,u)=(73889, 2733228, 2733245)
d=19
(s,t,u)=(77995, 2885131, 2885149)
(s,t,u)=(86658, 3378922, 3378940)
d=20
(s,t,u)=(91220, 3556820, 3556839)
(s,t,u)=(100819, 4132760, 4132779)
d=21
(s,t,u)=(105861, 4339461, 4339481)
(s,t,u)=(116444, 5006190, 5006210)
d=22
(s,t,u)=(121990, 5244646, 5244667)
(s,t,u)=(133605, 6011236, 6011257)
d=23
(s,t,u)=(139679, 6284543, 6284565)
(s,t,u)=(152374, 7160498, 7160520)
d=24
(s,t,u)=(375, 846, 869)
(s,t,u)=(159000, 7471896, 7471919)
(s,t,u)=(172823, 8467152, 8467175)
d=25
(s,t,u)=(399, 910, 934)
(s,t,u)=(5775, 50670, 50694)
(s,t,u)=(180025, 8820025, 8820049)
(s,t,u)=(195024, 9944950, 9944974)
d=26
(s,t,u)=(202826, 10342826, 10342851)
(s,t,u)=(219049, 11608220, 11608245)
d=27
(s,t,u)=(227475, 12054771, 12054797)
(s,t,u)=(244970, 13471866, 13471892)
d=28
(s,t,u)=(254044, 13970908, 13970935)
(s,t,u)=(272859, 15551368, 15551395)
d=29
(s,t,u)=(282605, 16106861, 16106889)
(s,t,u)=(302788, 17862782, 17862810)
d=30
(s,t,u)=(313230, 18478830, 18478859)
(s,t,u)=(334829, 20422740, 20422769)
d=31
(s,t,u)=(345991, 21103591, 21103621)
(s,t,u)=(369054, 23248450, 23248480)
d=32
(s,t,u)=(380960, 23998496, 23998527)
(s,t,u)=(405535, 26357696, 26357727)
d=33
(s,t,u)=(418209, 27181473, 27181505)
(s,t,u)=(444344, 29768838, 29768870)
d=34
(s,t,u)=(457810, 30671026, 30671059)
(s,t,u)=(485553, 33500812, 33500845)
d=35
(s,t,u)=(499835, 34486235, 34486269)
(s,t,u)=(529234, 37573130, 37573164)
d=36
(s,t,u)=(544356, 38646756, 38646791)
(s,t,u)=(575459, 42005880, 42005915)
d=37
(s,t,u)=(591445, 43172821, 43172857)
(s,t,u)=(624300, 46819726, 46819762)
d=38
(s,t,u)=(5757, 40898, 40935)
(s,t,u)=(641174, 48085238, 48085275)
(s,t,u)=(675829, 52035908, 52035945)
d=39
(s,t,u)=(693615, 53405391, 53405429)
(s,t,u)=(730118, 57676242, 57676280)
d=40
(s,t,u)=(748840, 59155240, 59155279)
(s,t,u)=(787239, 63763120, 63763159)

Si intentara demostrar que hay una solución para cada $d$ intentaría entender esos pares. El más pequeño $s$ para cada par parece ser divisible por $d$ .

Un poco de retoque ve que el valor más pequeño de $s$ para cada par es $s=12d^2(d-1)+d$ .

A continuación, un poco de cálculo numérico obtiene los dos conjuntos infinitos de soluciones para cada $d$ .

Es posible que para cada $d$ que sólo hay un número finito de soluciones.

Answer 3

Espero que conozca $$\sum_{r=1} ^n n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Ahora, tu LHS: $$\frac{s(s+1)(2s+1)}{6}$$

Para su RHS: Número de términos= $u-t$ proporcionado $u \neq t$ $$\text{Sum till u }-\text{Sum till t }$$ $$\frac{u(u+1)(2u+1)}{6}-\frac{t(t+1)(2t+1)}{6}$$ $$\frac{(u-t)[(2(u^2+t^2+ut)+3(u+t)+1]}{6}$$

Sabemos que $t>s$ . Aquí, podemos ver que este RHS (tal vez) mayor que LHS. PERO sólo cuando $u \neq t$ .

Caso II: $u=t$

Toma s de $1$ a $50$ : 0 1 5 14 30 55 91 140 204 285 385 506 650 819 1015 1240 1496 1785 2109 2470 2870 3311 3795 4324 4900 5525 6201 6930 7714 8555 9455 10416 11440 12529 13685 14910 16206 17575 19019 20540 22140 23821 25585 27434 29370 31395 33511 35720 38024 40425

Que $4900$ es el contraejemplo a su afirmación cuando $u=t=70$ {Due Credits to @carmicheal561 }