Mostrar la convergencia uniforme de la serie de funciones $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n \sin(nx)}{n}$

Question

Mostrar la convergencia uniforme de la serie de funciones $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n \sin(nx)}{n}$ on the interval $[-1,1]$

Mi intento: me mostró la serie converge uniformemente en el intervalo de $[-1/2,1/2]$, usando el M de Weierstrass de la prueba. También me mostró la serie converge uniformemente en el intervalo de $[1/2,1]$ mediante el uso de Dirichlet del criterium, donde he utilizado ese $\left|\sum_{k=1}^n \sin(kx)\right| \leq \frac{1}{\sin(x/2)}$

Sin embargo, estoy atascado en el que muestra de ello converge uniformemente en el intervalo de $[-1,-1/2]$. Traté de aplicar de Dirichlet del criterium pero no se puede concluir nada a causa de la conducta del plazo $x^n/n$ (que no disminuye monótonamente).

Alguna idea?

Answer 1

$$\sum_{n\geq 1}\frac{x^n \sin(nx)}{n}$$ es pointwise convergente para cualquier $x\in[-1,1]$: que es trivial si $|x|<1$ y se desprende de Dirichlet de la prueba si $|x|=1$. A fin de demostrar la convergencia uniforme, es suficiente para demostrar que $$ E(N) = \sup_{x\in[-1,1]}\left|\sum_{n\geq N}\frac{x^n \sin(nx)}{n}\right| $$ cumple con $\lim_{N\to +\infty}E(N)=0$. Si $|x|<1$ hemos $$ \left|\sum_{n\geq N}\frac{x^n \sin(nx)}{n}\right|\leq \frac{1}{N}\sum_{n\geq N}|x|^n = \frac{|x|^N}{N(1-|x|)}.$$ Para una fija $N$, vamos $ S_M(x) = \sum_{n=N}^{M}\sin(nx)$. Sabemos que $|S_M(x)|\leq \frac{1}{|\sin(x/2)|}\leq\frac{\pi}{|x|}\leq 2\pi$ cualquier $x\in[-1,1]$ tal que $|x|>\frac{1}{2}$, y por sumación por partes $$ \sum_{n\geq N}\frac{x^n\sin(nx)}{n} = \sum_{n\geq N}S_n(x)x^n\left(\frac{1}{n}-\frac{x}{n+1}\right). $$ Si $x$ es negativo la RHS puede ser limitada a través de la alternancia de serie de la prueba, y resulta ser $O\left(\frac{1}{N}\right)$. Si $x$ es positiva, la CARTA puede ser escrito como $$\sum_{n\geq N}\frac{S_n(x)x^n}{n(n+1)}+\sum_{n\geq N}\frac{S_n(x)x^n(1-x)}{n+1} $$ donde el primer término es delimitada por $\frac{2\pi}{N}$ en valor absoluto. Tenemos $$ \sup_{x\in[0,1]} x^n(1-x) \leq \frac{1}{en} $$ y esto completa la prueba de que $$ \left|\sum_{n\geq N}\frac{x^n \sin(nx)}{n}\right| = O\left(\frac{1}{N}\right). $$