Teorema de la clase monótona para funciones

Question

Supongamos que $\mathcal F$ es una colección de funciones de valor real sobre $X$ de manera que las funciones constantes estén en $\mathcal F$ y $f + g$ , $fg$ y $cf$ están en $\mathcal F$ siempre que $f, g \in \mathcal F$ y $c \in \mathbb R$ . Supongamos que $f \in \mathcal F$ siempre que $f_n \to f$ y cada $f_n \in \mathcal F$ . Definir la función $$\textbf1_A(x) = \begin{cases} 1, & x \in A;\\ 0, & x \notin A. \end{cases}$$ Demostrar que $\mathcal A = \{A \subseteq X : \textbf 1_A \in \mathcal F\}$ es un $\sigma$ -Álgebra.

Dispongo del siguiente resultado:

Teorema de la clase monótona : Supongamos que $\mathcal A_0$ es un álgebra, $\mathcal A$ es el más pequeño $\sigma$ -que contiene $\mathcal A_0$ y $\mathcal M$ es la clase monótona más pequeña que contiene $\mathcal A_0$ . Entonces $\mathcal M = \mathcal A$ .

Notas : he aquí algunas observaciones que he hecho:

1. $\emptyset \in \mathcal A$ desde $\textbf 1_\emptyset = 0$ es constante y $\mathcal F$ contiene todas las funciones constantes, de forma similar $X \in \mathcal A$ .
2. Si $A \in \mathcal A$ entonces $\textbf 1_A \in \mathcal F$ ; observe que $1 - \textbf 1_A = \textbf 1_{A^c} \in \mathcal F$ ya que las sumas finitas son de elementos en $\mathcal F$ están en $\mathcal F$ Por lo tanto $A^c \in \mathcal A$ .
3. Dejemos que $A_1, A_2 \in \mathcal A$ entonces $\textbf 1_{A_1}, \textbf 1_{A_2} \in \mathcal F$ . Observe que $\textbf 1_{A_1 \cap A_2} = \textbf 1_{A_1} \cdot \textbf 1_{A_2} \in \mathcal F$ . Por inducción matemática si $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal A$ entonces $\bigcap_{i = 1}^n A_i \in \mathcal A$ .
4. Como tenemos intersecciones y complementos finitos, obtenemos uniones finitas: $\bigcup_{i = 1}^n A_i \in \mathcal A$ .

Así que $\mathcal A$ es un álgebra. En este punto podemos optar por hacer $\mathcal A_0 := \mathcal A$ nuestra álgebra.

El problema de mostrar el resultado directamente se reduce a mostrar si $A_i \in \mathcal A$ entonces $\bigcup_{i = 1}^\infty A_i \in \mathcal A$ .

Supongo que quiero mostrar que $\mathcal M := \mathcal A_0$ es una clase monótona. Una vez hecho esto, ya que $\mathcal A_0 = \mathcal M$ , $\mathcal M$ es obviamente la clase monótona más pequeña que contiene $\mathcal A_0$ . Por el teorema de la clase monótona $\mathcal M = \sigma(\mathcal A_0)$ es un $\sigma$ -Álgebra, ¿correcto? ( Pregunta 1 )

Así que vamos a tratar de demostrar que $\mathcal M$ es una clase monótona.

1. Dejemos que $A_k \in \mathcal M$ con $A_k \nearrow A$ . En particular, tenemos que $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$ y $A := \bigcup_{k = 1}^\infty A_k$ . Obsérvese que (por hipótesis), $$\lim_{n \to \infty} \textbf 1_{A_n} = \textbf 1_{\bigcup_{k = 1}^\infty A_k}$$ y por lo tanto $\bigcup_{k = 1}^\infty A_k \in \mathcal A$ . ¿Es válido este paso? Parece obvio, pero no estoy seguro de si he hecho una suposición aquí que no debería haber hecho ( Pregunta 2 )
2. Dejemos que $A_k \in \mathcal M$ con $A_k \searrow A$ . En particular, tenemos que $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \cdots$ y $A := \bigcap_{k = 1}^\infty A_k$ . Obsérvese que (por hipótesis) $$\lim_{n \to \infty} \textbf 1_{A_n} = \textbf 1_{\bigcap_{k = 1}^\infty A_k}$$ y por lo tanto $\bigcap_{k = 1}^\infty A_k \in \mathcal A$ .

Si el razonamiento de los dos pasos anteriores es válido acerca de que el límite es correcto, entonces ¿puedo omitir el uso del teorema de la clase monótona y simplemente observar lo siguiente? ( Pregunta 3 )

Dejemos que $A_k \in \mathcal A$ entonces $\textbf 1_{A_k} \in \mathcal F$ . Definir $B_n = \bigcup_{k = 1}^n A_k \in \mathcal A$ ya que hemos establecido que es un álgebra y las álgebras tienen uniones finitas. Definir $f_n = \textbf 1_{B_n}$ y observe que $\lim_{n \to \infty} f_n = \lim_{n \to \infty} \textbf 1_{B_n} = \textbf 1_{\cup_{k = 1}^\infty A_k} \in \mathcal F$ por hipótesis. Por lo tanto, $\bigcup_{k = 1}^\infty A_k \in \mathcal A$ . Concluir por definición que $\mathcal A$ es un $\sigma$ -Álgebra.

Si mi razonamiento falla en alguna parte, agradecería cualquier pista/demostración completa que establezca el resultado utilizando el teorema de la clase monótona, aunque sólo sea porque siento que me falta entender cómo utilizarlo y creo que éste es un buen ejemplo en el que es utilizable.

Answer 1

Todo lo que has hecho me parece bien. Para completar, he aquí una solución sucinta:

En primer lugar, $\boldsymbol{1}_\varnothing = 0 \in \mathcal F \implies \varnothing \in \mathcal A$ . Siguiente para $A \in \mathcal A$ tenemos $\boldsymbol{1}_{A^c} = 1 - \boldsymbol{1}_{A} \in \mathcal F \implies A^c \in \mathcal A$ . Y por último, supongamos que $(A_k)_{k=1}^\infty$ es una secuencia de conjuntos en $\mathcal A$ . Consideremos la secuencia $\left(\prod_{k=1}^n \boldsymbol{1}_{A_k}\right)_{n=1}^\infty$ de funciones en $\mathcal F$ . Si $x \in \bigcap_{k=1}^\infty A_k$ entonces $\prod_{k=1}^n\boldsymbol{1}_{A_k}(x) = 1$ para todos $n$ . Por otro lado, si $x \notin \bigcap_{k=1}^\infty A_k$ entonces $\prod_{k=1}^n \boldsymbol{1}_{A_k}(x) = 0$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Así, $\lim_{n \to \infty}\prod_{k=1}^n \boldsymbol{1}_{A_k} = \boldsymbol{1}_{\bigcap_{k=1}^\infty A_k}$ en sentido estricto, lo que implica que $\mathcal A$ es cerrado bajo intersecciones contables. De ello se deduce que $\mathcal A$ es realmente un $\sigma$ -Álgebra.