Números que son divisibles por el número de primos menores que ellos

Question

Deje $\pi(n)$ denotar el número de números primos menores o iguales a $n$ (.k.una de las prime-función de cuenta).

Para ciertos valores de $n$, el valor de $\frac{n}{\pi(n)}$ es un entero.

Aquí está el primer par de ejemplos:

• $n= 8,\pi(n)= 4,\frac{n}{\pi(n)}=2$
• $n= 27,\pi(n)= 9,\frac{n}{\pi(n)}=3$
• $n= 30,\pi(n)=10,\frac{n}{\pi(n)}=3$
• $n= 33,\pi(n)=11,\frac{n}{\pi(n)}=3$
• $n= 96,\pi(n)=24,\frac{n}{\pi(n)}=4$
• $n=100,\pi(n)=25,\frac{n}{\pi(n)}=4$
• $n=120,\pi(n)=30,\frac{n}{\pi(n)}=4$
• $n=330,\pi(n)=66,\frac{n}{\pi(n)}=5$
• $n=335,\pi(n)=67,\frac{n}{\pi(n)}=5$
• $n=340,\pi(n)=68,\frac{n}{\pi(n)}=5$
• $n=350,\pi(n)=70,\frac{n}{\pi(n)}=5$
• $n=355,\pi(n)=71,\frac{n}{\pi(n)}=5$
• $n=360,\pi(n)=72,\frac{n}{\pi(n)}=5$

$\textbf{Has it been proved that }\mathbf{\forall{k>1},\exists{n}:\frac{n}{\pi(n)}=k}$?

Dos aspectos que "intuitivamente" apoyo de esta declaración son:

1. El primer número teorema, lo que implica $\frac{n}{\pi(n)}\approx\ln{n}$.
2. Parece ser que hay varios de esos valores de $n$ para cada valor de $k$.

Pero no estoy seguro de cómo uno de ellos puede ser utilizado con el fin de establecer una prueba.

Answer 1

Con respecto a tu pregunta si hay, para cada una de las $k$, $n$ tal que $\dfrac{n}{\pi(n)}=k$ creo que la respuesta es afirmativa. Si consideramos que la función $f(x) = \dfrac{x}{\pi(x)}$, podemos demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ (por el teorema de los números primos o por el más elemental de los límites). Si $f$ fueron continuas, como $f(2) = 2$, se debe tener un valor intermedio tal que $f(x)=k$. Este enfoque ingenuo no funciona (como $f$ no es continua). Sin embargo, podemos hacer algo similar:

Sabemos que hay un $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)<k$ $f(n+1)\geq k$ ($f$ tiende a infinito, no siempre puede estar delimitado por $k$). Si $f(n+1)=k$, entonces estamos hecho. Si no, $f(n+1)>k$. Este dos de las desigualdades puede ser reescrita como $n < k \pi(n)$$n+1 > k\pi(n+1)$. Esto significa que $$k \pi (n+1) < n+1 < k\pi(n) + 1$$ That is $k(\pi(n+1) - \pi(n)) < 1$. This implies that $\pi(n)=\pi(n+1)$. But then, $$k\pi(n+1) = k\pi(n) < n+1 < k\pi(n)+1$$ Absurd, since $n+1$ es un número entero comprendido entre dos enteros consecutivos.

Answer 2

Sí esto es probado por S.W.Golomb.
No puedo resistir para mostrar un trozo de mi obra:http://arxiv.org/abs/1311.1398