Cómo demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad para funciones entre espacios euclidianos

Question

Una función $f: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ es diferenciable en $a$ si existe un mapa lineal $ \lambda: \mathbb{R^n} \to \mathbb{R^m}$ tal que

$$\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a+h) - f(a) - \lambda(h)\|}{\|h\|} = 0$$

Así que claramente, si $f$ es diferenciable en $a$ entonces $\lim_{h \to 0} f(a+h) - f(a) - \lambda(h) = 0$ pero, ¿qué hacer a partir de aquí?

Answer 1

Más explícitamente:

El límite muestra que para cualquier $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ de modo que si $\|h\| < \delta$ entonces $\|f(a+h) - f(a) - \lambda(h)\| \leq \epsilon \|h\|$ . $\lambda$ es continua, por tanto acotada, por lo que tenemos $\|\lambda(h)\| \leq K \|h\|$ para algunos $K$ .

Entonces tenemos $\|f(a+h) - f(a)\| \leq \|f(a+h) - f(a) - \lambda(h)\| + \|\lambda(h)\|\leq (\epsilon + K ) \|h\|$ .

Ahora dejemos que $\eta >0$ entonces si $\|h\| < \min(\delta, \frac{\eta}{\epsilon+K})$ tenemos $\|f(a+h) - f(a)\| < \eta$ lo que demuestra que $f$ es continua en $a$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $\lambda$ es lineal, por lo que $\lim\limits_{h\to 0} \lambda(h)=0$ . Así $\lim\limits_{h\to 0} f(a+h)-f(a)=0$ que equivale a $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ una de las definiciones de continuidad (por supuesto, todas las definiciones son equivalentes).

Answer 3

Desde $\lambda(h)$ es una correspondencia lineal entre $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ es continua y $\lambda(0)=0$ . Por lo tanto $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\lambda(h)=\lambda(0)=0$ .