pregunta relacionada con la cadena de Markov

Question

Deje $S_{2m}$ el conjunto de todas las permutaciones $\pi$$\{1, 2, \ldots, 2m\}$. La siguiente transición kernel $S$ genera el azar transposición a pie $$ Ch(\pi, \pi')= \begin{cases} \frac{1}{2m} & \pi'=\pi\\[10pt] \frac{2}{(2m)^2} & \pi'=\tau \pi\ \text{ for some transposition %#%#%}\\[10pt] 0, & \text{otherwise} \end{casos} $$ Se sabe que con la simétrica de la probabilidad de medida $\tau$, el par $\mu$ define una reversible de la cadena de Markov.

Deje $(Ch, \mu)$ ser un azar de transposición, con $\tau=(I, J)$ elegido independentely y uniforme de $I, J$. La multiplicación por $\{1, 2, \ldots, 2m\}$ resultados en dar un paso en la cadena definida por $\tau$.

Toda esta estructura se da en "La Concentración de Medir el Fenómeno" por M. Ledoux.

Deje $Ch$ ser un vector en $c=(c_1, c_2, \ldots, c_{2m})$. Definir la función$R^{2m}$$f:S_{2m}\longrightarrow R$.

Pregunta: Encontrar el límite superior de $f(\pi):=|\sum_{k=0}^mc_{\pi(k)}-\sum_{k=m+1}^{2m}c_{\pi(k)}|$.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Considere la posibilidad de $g(\pi)=\sum\limits_{k=0}^mc_{\pi(k)}-\sum\limits_{k=m+1}^{2m}c_{\pi(k)}$. A continuación, $g(\tau\pi)=g(\pi)+2\cdot (c_{I}-c_{J})\cdot a_\pi(I,J)$ donde $a_\pi(I,J)=+1$ si $J\leqslant m\lt I$, $a_\pi(I,J)=-1$ si $I\leqslant m\lt J$, e $a_\pi(I,J)=0$ lo contrario.

Desde $f=|g|$, los rendimientos de $|f(\pi)-f(\tau\pi)|\leqslant|g(\pi)-g(\tau\pi)|=2\cdot |c_{I}-c_{J}|\cdot [a_\pi(I,J)\ne0]$.