Demostrando que $\mathrm{card}(2^{\mathbb{N}})=\mathrm{card}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$

Question

Me gustaría demostrar que $\mathrm{card}(2^{\mathbb{N}})=\mathrm{card}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$, tengo el siguiente 'sketch', pero no estoy seguro de si esto funciona.

$|2^{\mathbb{N}}|\leq|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|\leq|2^\mathbb{N^{\mathbb{N}}}|=|2^{\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|=|2^\mathbb{N}|$ , $|2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{N}^\mathbb{N}|$

Estoy dando por sentado la primera desigualdad, (me.e: $|2^{\mathbb N}|\leq|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|$), se podría hacer una prueba más acerca de esto. Sería suficiente señalar que las funciones en $2^{\mathbb{N}}$$\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, pero hay funciones en la última, que no en el primero? Debo tratar de dar una respuesta más formal de la prueba?

Answer 1

Sólo voy a señalar que cuando escribes $2^{\mathbb N^{\mathbb{N}}}$ , hay una cierta ambigüedad.

Para asegurarse de que está claro que lo que tienes en mente, usted debe escribir $(2^{\mathbb N})^{\mathbb{N}}$. (Esto es lo que usted ha usado aquí).

El otro posible significado es $2^{(\mathbb N^{\mathbb{N}})}$.

De hecho, cuando alguien escribe $a^{b^c}$, se suele decir $a^{(b^c)}$. (Si alguien quiere escribir $(a^b)^c$, se puede escribir $a^{bc}$ lugar. Ver Cómo evaluar las competencias de los poderes (es decir,$2^3^4$) en ausencia de paréntesis? o $x^{y^z}$ : $x^{(y^z)}$ o $(x^y)^z$?

Answer 2

Como prueba de su inclusión está bien. Usted ha demostrado que cada elemento de a $2^{\Bbb N}$ es también un elemento de $\Bbb N^{\Bbb N}$.