Multipolo momentos de un sistema se definen con un explícito refrence para el sistema de coordenadas, por ejemplo, $$\boldsymbol{d}=\int dV\, \rho\,\boldsymbol{r}\\ \boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int dV\, [\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{j}]\\ Q_{ij}=\int dV\, \rho(3r_ir_j-\delta_{ij}r^2)$$ Sólo el líder de multipolo momento es independiente de esta elección. Vamos a suponer que es el momento dipolar $\boldsymbol{d}$. Ahora consideremos un sistema armónico con frecuencia $\omega$. El sistema de irradiar energía, y la intensidad de la radiación $I$ puede ser escrito en términos de los momentos multipolares (lo siento si los coeficientes no son correctos) $$I=\frac{2}{3}\frac{\omega^4\boldsymbol{d}^2}{c^3}+\frac{2}{3}\frac{\omega^4\boldsymbol{\mu}^2}{c^3}+\frac{\omega^6Q_{ij}^2}{180c^5}+\dots$$ Ahora $\boldsymbol{d},\boldsymbol{\mu}$ $Q_{ij}$ son las amplitudes de los correspondientes oscilante momentos. De acuerdo a los libros de texto, si el momento dipolar es el presente que en el dipolo término da la mayor contribución a la intensidad de la radiación y otros términos que podrían ser consideradas las correcciones. Supongamos que queremos incrementar la precisión incluyendo el magnético y el cuadrupolo contribuciones. Mi problema es que estas correcciones no parecen estar bien definidos, debido a que los momentos themselvs dependen de nuestra elección de la coorditate origen. Tomemos, por ejemplo, el momento magnético y el cambio en el sistema de coordenadas por el vector $\boldsymbol{a}$. El correspondiente cambio del momento magnético está dada por $$\Delta\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2c}\int dV\, [\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{j}]$$ Es razonable tomar a $\boldsymbol{a}$ a ser del orden de todo el tamaño del sistema de $L$. En efecto, para un sistema genérico con no especiales de simetría de la uncertanty de donde es "el centro" es del orden del tamaño del sistema. Pero entonces, el $\Delta\boldsymbol{\mu}$ $\boldsymbol{\mu}$ parece ser del mismo orden de $\Delta\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}\propto L j/c$. Así que la qestion es si realmente se puede aumentar la precisión de la multipolo de expansión mediante la inclusión de sólo algunos de los términos de orden superior (el total debe ser invariante por supuesto)?
Respuesta
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Consideremos, en primer lugar, la expansión del potencial electrostático $\Phi$ en una situación estacionaria $$\Phi(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} + \mathcal{O}(r^{-3})$$ Ahora vamos a cambiar nuestro origen por $\vec{a}, \vec{R} = \vec{r} - \vec{a}$ donde $|\vec{a}| \ll r$. El monopolo plazo luego se expandió como $$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 |\vec{R} + \vec{a}|} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} - \frac{Q(\vec{a}\cdot \vec{R})}{4 \pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ El dipolo término es simplemente $$\frac{\vec{d}\cdot \vec{r}}{4\pi \epsilon_0 r^3} = \frac{\vec{d}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Ahora echemos un vistazo a todo el potencial $$\Phi(\vec{r}) = \Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{(\vec{d}-Q\vec{a})\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ Tenga en cuenta que este es (dentro de la aproximación) una descripción del mismo potencial que el anterior. En otras palabras, si usted toma una mirada en el mismo punto físico, obtendrá el mismo valor de $\Phi$ independiente de si están en el $\vec{r}$ coordenadas o $\vec{R}$ coordenadas.
Ahora vamos a denotar el dipolo se define con respecto a $\vec{R}$ $\vec{D}$ y calcular $$\vec{D} = \int \rho \vec{R} d V = \int \rho \vec{r} d V - \int \rho \vec{a} d V = \vec{d} - Q\vec{a}$$ Vemos entonces que nuestro desplazado potencial en $\vec{R}$ coordenadas puede ser escrito como $$\Phi(\vec{R}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R} + \frac{\vec{D}\cdot \vec{R}}{4\pi \epsilon_0 R^3} + \mathcal{O}(R^{-3})$$ que es exactamente el multipolo de expansión que la que se obtendría si se inicia desde el $\vec{R}$ coordenadas en el primer lugar.
I. e., expansiones multipolares son covariantes con respecto a coordinar turnos. Es posible demostrar que esto se aplica a todos los pedidos con más y más en términos de goteo hacia abajo de los órdenes inferiores a los superiores, y que incluso puede mostrar la covarianza de la multipolo de expansión con respecto a la totalidad del grupo de Poincaré (con pequeñas traducciones).
Ahora usted está probablemente preguntando lo que está sucediendo con su radiación fórmula a continuación. El truco es que las fórmulas que se dan se aplican sólo en los marcos inerciales. En particular, $\vec{a}$ normalmente será una constante cambio. Sin embargo, su radiación fórmula se aplica a la oscilación de las magnitudes a las que una constante $\vec{a}$ tendrá subleading, o incluso la desaparición de las contribuciones.
Considerar el momento dipolar. Tenemos $\vec{D} = \vec{d} - Q\vec{a}$. A continuación, puede ver que desde $\dot{Q} = \dot{a} = 0$, $\dot{D} = \dot{d}$ y no hay ningún plazo adicional derivadas de la radiación de la fórmula del cambio.
Como para el dipolo magnético de momento, tenemos $$\vec{\mu}' = \vec{\mu} + \frac{1}{c}\vec{a} \times \int \vec{j}\, dV$$ Es un poco más complicado argumento de por qué el plazo adicional será subleading.
Primero vamos a reescribir como una integral doble usando el teorema de la divergencia $$\int j_i (\vec{R}) \, dV(\vec{R}) = \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{x_i=const.} \! \!\!\! \vec{j} \cdot d \vec{S} \right) d x_i = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^{x_i =const.} \! \! \! \nabla \cdot \vec{j}(\vec{R}') d V(\vec{R}') \right) d x_i$$ I. e., utilizamos el hecho de que la integral de $j_i$ sobre una superficie de constante $x_i$ también puede ser escrito como una divergencia en un volumen delimitado por $x_i = const.$ (asumiendo, por supuesto, que las corrientes se desvanecen fuera del cuerpo, de manera que las contribuciones de los otros límites son sólo cero). Ahora vamos a utilizar la ecuación de continuidad $\nabla \cdot \vec{j} = - \partial \rho/\partial t$, para finalmente expresar $$\vec{\mu}' = \frac{1}{c}\int \vec{R} \times \vec{j} dV = \frac{1}{c}\int \vec{r} \times \vec{j} dV - \frac{1}{c}\vec{a} \times \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{\vec{x}} \! \frac{\partial \rho} {\partial t} d V \right) d \vec{x}$$ (Si usted no está seguro acerca de lo que el vector producto significa, simplemente escriba las expresiones utilizando la de Levi-Civita de símbolos y componentes.) Ahora supongamos que tenemos $\rho = \rho_0 + \rho_{osc} e^{i\omega t}$ $\vec{j} = \vec{j}_{0} + \vec{j}_{osc} e^{i\omega t}$ donde $\rho_0, \rho_{osc},\vec{j}_0 ,\vec{j}_{osc}$ son funciones de la posición. Entonces podemos ver que $$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} - \frac{\omega}{c}\vec{a}\times \vec{\Delta}$$ donde $\vec{\mu}_{osc} = \int \vec{j}_{osc} \times \vec{r} dV$, e $\vec{\Delta} = \int (\int^\vec{x} \rho_{osc} dV) d\vec{x}$. Desde $\vec{d}_{osc} = \int \rho_{osc} \vec{r} dV$, tendremos $\vec{\Delta} \sim \vec{d}$ y finalmente podemos escribir $$\vec{\mu}'_{osc} = \vec{\mu}_{osc} + \mathcal{O}( \frac{\omega}{c} a \,d_{osc} )$$ I. e. el cambio induce sólo un subleading corrección.
La esencia del argumento es que si usted tiene un cuerpo, de la que no corrientes de salida, a continuación, un valor distinto de cero $\int \vec{j} dV$ corresponde a los cambios de la densidad de carga en algún lugar en el interior del cuerpo ($\partial \rho/\partial t \neq 0$). En una oscilación estacionaria, sin embargo, esto corresponde a un término de un mayor $\omega$ de energía en comparación con el $\mu$ oscilación.
La razón es la siguiente: corriente tiene las dimensiones $[Charge \cdot distance / time]$, la carga de la escala se determina por la carga global en el cuerpo, la distancia por el tamaño del cuerpo, y el tiempo por 1) el tiempo de cruce de la partícula cargada en el cuerpo, y 2) el tiempo de oscilación de los cargos. El plazo $\int \vec{r} \times \vec{j} dV$ la captura de este "cruce de la corriente" cuya magnitud no depende de la $\omega$, pero el plazo $\vec{a} \times \int \vec{j} dV$ captura sólo el $\omega$proporcional oscilatorio actual.
