Límite de la integral de $\frac{x^n+1}{x^n+2}$

Question

Considera la siguiente integral:

\begin{align} F(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n(x)dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\int\frac{x^n+1}{x^n+2}dx \end{align}

¿Cómo se evalúa explícitamente esta integral? He considerado el criterio de convergencia uniforme para el intercambio de límite e integración. Si hacemos esto, la convergencia de $f_n$ depende del dominio de una manera interesante:

\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = \left\{\begin{array}{l}1\qquad &x\lt-1\\ \text{Does not exist }\qquad &x=-1\\ 1/2\qquad &x\in(-1,1)\\ 2/3\qquad &x=1\\ 1\qquad &x\gt 1\end{array}\right\} \fin{align}

Mi pregunta es entonces, ¿Cómo podemos interpretar la integral indefinida? ¿Simplemente definimos una función continua a trozos para esto, ignorando los dos puntos $\pm$ 1? o estoy muy equivocado aquí?? ¿Una capitulación ingenua de Wolfram sugiere que se trata de una función hipergeométrica? Me gustaría definir lo siguiente:

\begin{align} F(x) = \left\{\begin{array}xx\qquad &x\in(-\infty,-1)\bigcup(1,\infty)\\ x/2\qquad &x\in (-1,1)\end{array}\right\} \end{align}

¿Qué hay de malo en esta idea? Gracias

Answer 1

Una forma diferente de responder a la pregunta es mostrar una representación gráfica a la función $f(x)$ para varios valores de $n$ y una representación gráfica de las respectivas integrales $F(X)$ . ( El viejo dicho de que "Una pequeña imagen dice más que un largo discurso")

Esto hace más comprensible el comportamiento de la función y la integral para $n$ que tiende al infinito. Por supuesto, el objetivo de esta aproximación no es dar una prueba formal y debida. Sin embargo, entender bien el comportamiento es una ayuda valiosa para intentar construir una prueba formal.

Answer 2

Otro enfoque con la función Heaviside :

Nota : Con respecto a la integral (no al límite), es decir $F(X,n)$ , en caso de $X<0$ y $n$ impar se entiende como el valor principal de Cauchy.

Answer 3

La integral indefinida viene dada por

$$ \int\frac{x^n+1}{x^n+2}dx = x-\frac{x}{2}{}_2F_1\left(1,\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}, -\frac{x^n}{2} \right). $$ En el límite, tenemos $$ \lim_{n\rightarrow\infty}{}_2F_1\left(1,\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}, -\frac{x^n}{2} \right)=1, $$ independientemente del valor de $x$ (el cuarto argumento puede limitarse a $0$ , $\pm 1$ o $\pm\infty$ y el límite de la función hipergeométrica es el mismo en todos los casos), por lo que la solución es $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\int\frac{x^n+1}{x^n+2}dx = \frac{x}{2}. $$