Estoy tratando de entender mejor el concepto de diferenciables submanifold. Sin embargo, parece que muchas definiciones diferentes, son adoptadas por diversos autores y por lo que yo estoy tratando de mantenerme en sintonía demostrando que sean equivalentes. Ahora estoy atascado con los dos siguientes.
Deje $M$ denotar un $n$-variedad diferenciable y deje $M' \subset M$: considere el $M'$ equipado con la topología de subespacio. También vamos a $n' < n$ ser un número entero.
Yo) Nos dicen que $M'$$n'$ -submanifold de $M$ si es localmente una rebanada de sistema de coordenadas, es decir, para todos los $p'\in M'$ existe un sistema de coordenadas $(U, x^1 \ldots x^n)$ $M$ s.t.
$$U \cap M'=\{ p \in M\mid x^{n'+1}(p)=\ldots=x^{n}(p)=0\}.$$
Si este es el caso de la $(U \cap M', x^1 \ldots x^{n'})$ es un local gráfico en $M'$ y la recogida de tales gráficos de forma un atlas diferenciable en él.
II) decimos que $M'$$n'$ -submanifold de $M$ si para todas las $p'\in M'$ existe una abierta vecindario $U_{p'}$ $p'$ $M$ y un diferenciable de asignación de $\tilde{F}_{p'} \colon U_{p'}\to \mathbb{R}^{n'}$ s.t.:
i) La asignación de $F_{p'}=\tilde{F}_{p'}|_{U_{p'} \cap M'}$ es uno-uno en un conjunto abierto $V$$\mathbb{R}^{n'}$;
ii) la inversa de La asignación de $F_{p'}^{-1}\colon V \to M$ es diferenciable.
Si este es el caso de la $(U_{p'}\cap M', F_{p'})$ es un local gráfico en $M'$ y la recogida de tales gráficos de forma un atlas diferenciable en él.
La parte difícil está demostrando que la II $\Rightarrow$ I, es decir, dada una colección de $(U_{p'}\cap M', F_{p'})$ uso de ellos para mostrar que $M'$ es localmente una rebanada de algún sistema de coordenadas. ¿Cómo construir un sistema de coordenadas como que?
Edit: Respuesta
La siguiente se basa en Warner Fundamentos de la diferenciable colectores y la Mentira de los grupos, la Proposición de 1.35. Deje $M, M', p', U_{p'}, \tilde{F}_{p'}$ como en el II y poner $\tilde{F}_{p'}=(y^1\ldots y^{n'})$. Desde $F_{p'}$ tiene una inversa diferenciable, las funciones de $y^1 \ldots y^{n'}$ deben ser independientes en$p'$, por lo que forma parte de un local gráfico de $(W, y=(y^1\ldots y^n))$ donde $W$ es una vecindad de a $p'$ en el gran colector de $M$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $y(p')=(0\ldots 0)$.
Ahora no hay necesidad de que el sector $\{p\in W \mid y^{n'+1}(p)=\ldots=y^{n}(p)=0\}$ a de acuerdo con $M'$.
Así que tenemos que modificar este sistema de coordenadas un poco. Definir un mapeo $Pr\colon W \to W \cap M'$ mediante el establecimiento de
$$Pr(p)=(y^1\ldots y^{n'})^{-1} (y^1(p) \ldots y^{n'}(p), 0 \ldots 0).$$
Esta asignación se entiende mejor en las coordenadas: $Pr(p)$ es el único punto de $W\cap M'$ cuyo primer $n'$ coordenadas de acuerdo con el primero $n'$ coordenadas de $p$. Es claro que esta asignación es diferenciable (recuerde hipótesis (ii) anterior).
Definir las funciones de
$a$z^i= \begin{cases} y^i & i=1\ldots n' \\ y^i-y^i \circ Pr & i=n'+1 \ldots n \end{casos};$$
esas funciones son independientes en$p'$, por lo que forman un sistema de coordenadas en un abrir vecindario $V$. Tenemos $\{p \in V \mid z^{n'+1}(p)=\ldots =z^n(p)=0\}=M' \cap V$: así pues, hemos probado que $M'$ está de acuerdo localmente con una rebanada de algún sistema de coordenadas de $M$, $M'$ verifica yo. ////
