Demostrar que $\sqrt[3]{3\sqrt{21} + 8} - \sqrt[3]{3\sqrt{21} - 8} = 1$

Question

Demostrar que $$\sqrt[3]{3\sqrt{21} + 8} - \sqrt[3]{3\sqrt{21} - 8} = 1$$

Jugando con la expresión, he encontrado una prueba que publicaré como respuesta.

Hago esta pregunta porque me gustaría ver si hay soluciones alternativas que quizás sean más rápidas / más directas / elementales / elegantes / metódicas / perspicaces, etc.

Answer 1

Esta es mi solución:

Dejemos que $\alpha = \sqrt[3]{3\sqrt{21} + 8}$ y $\beta = \sqrt[3]{3\sqrt{21} - 8}$ . Entonces $$ \alpha\beta = \sqrt[3]{(3\sqrt{21} + 8)(3\sqrt{21} - 8)} = \sqrt[3]{(3\sqrt{21})^2 - 8^2} = \sqrt[3]{189 - 64} = \sqrt[3]{125} = 5 $$ y $$ \alpha^3 - \beta^3 = (3\sqrt{21} + 8) - (3\sqrt{21} - 8) = 16 $$ Ahora $$ (\alpha - \beta)^3 = \alpha^3 - 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 - \beta^3 = (\alpha^3 - \beta^3) - 3\alpha\beta (\alpha - \beta) = 16 - 15(\alpha - \beta) $$ así que $\alpha - \beta$ es una raíz del polinomio $$ x^3 + 15x - 16 = (x-1)(x^2 + x + 16). $$ La parte $x^2 + x + 16$ no tiene ninguna raíz real ya que su discriminante es $-1 - 4\cdot 16 < 0$ . Así que $\alpha - \beta$ es una raíz de $x-1$ y por lo tanto $$ \alpha - \beta = 1 $$

Answer 2

$(\frac {1 \pm \sqrt{21}}2)^3 = 8 \pm 3\sqrt{21}$

Supongo que estas respuestas también son relevantes Es $\sqrt[3]{p+q\sqrt{3}}+\sqrt[3]{p-q\sqrt{3}}=n$ , $(p,q,n)\in\mathbb{N} ^3$ ¿se puede resolver? ¿Cómo se evalúa $\sqrt[3]{x + iy} + \sqrt[3]{x - iy}$ ?

Answer 3

A veces puedes tener suerte desanidando un radical. Esta es una de esas veces.

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Escriba $\sqrt[3]{3\sqrt{21}\pm 8}$ como $\frac12\;\sqrt[3]{24\sqrt{21}\pm 64}$ y considerar la expresión del radicando como un cubo perfecto: $$24\sqrt{21}\pm 64 = (\;p + q \sqrt{21}\;)^3 =p^3 + 3 p^2 q \sqrt{21} + 63 p q^2 + 21 q^3 \sqrt{21}$$ para que $$p\left(\; p^2 + 63 q^2 \;\right) = \pm 64 \qquad q \left(\;p^2 + 7 q^2\;\right)\cdot 3\sqrt{21} = 8 \cdot 3\sqrt{21}$$

Claramente, podemos tomar $p = \pm 1$ y $q = 1$ . Entonces, $$\begin{align} \sqrt[3]{3\sqrt{21}+8} - \sqrt[3]{3\sqrt{21}-8} &= \frac{1}{2}\left(\; \sqrt[3]{(1 + \sqrt{21} )^3} - \sqrt[3]{(-1 + \sqrt{21} )^3} \;\right) \\[6pt] &= \frac{1}{2}\left(\;1 + \sqrt{21} - (-1 + \sqrt{21})\;\right) \\[6pt] &= 1 \end{align}$$

Answer 4

Como ventaja, también podemos obtener que

$$T=\sqrt[3]{3\sqrt{21} + 8} + \sqrt[3]{3\sqrt{21} - 8}=\sqrt{21}. $$ En efecto, podemos escribir $$T^3 = 6\sqrt{21}+6\sqrt{21}.$$ Para deshacerse de $\sqrt{21}$ podemos escribir $T = \alpha \sqrt{21}$ para obtener la ecuación $$21\alpha^3 - 15\alpha-6.$$ Tenemos una raíz obvia $\alpha=1$ y luego demostrar que $$\frac{21\alpha^3 - 15\alpha-6}{\alpha-1} = 21\alpha^2 +21\alpha+6$$ no tiene raíces reales.

Answer 5

PISTA: Si podemos reconocer aquí la fórmula de Cardano, encontrar la ecuación y su raíz evidente $x=1$ es fácil.