Mostrando una uniformidad completa.

Question

He visto en varios libros de texto y las notas que los si $X$ es paracompact, entonces la colección de todos los barrios de la diagonal es la uniformidad.

Estoy tratando de mostrar que esta uniformidad se completa el uso de filtros de Cauchy. Hasta el momento, me deje $\mathfrak{F}$ ser un filtro en $X$ que no convergen. Por definición, diciendo: $\mathfrak{F}$ no converge a cualquier punto, es decir que para cualquier $A \subset X$, hay un abrir vecindario $O_{A}$ $A$ que no es un elemento de $\mathfrak{F}$.

Con eso dicho, el conjunto de $\alpha = \{ X \setminus \overline{F} : F \in \mathfrak{F} \}$ es una cubierta abierta de a $X$. Esto es donde estoy atascado. ¿Por qué se sigue de aquí que el $\mathfrak{F}$ no es de Cauchy?

Alguien puede ayudar?

Answer 1

Deje $\mathscr{U}=\{X\setminus\operatorname{cl}F:F\in\mathfrak{F}\}$. Deje $\mathscr{V}$ ser localmente finito abrir el refinamiento de $\mathscr{U}$. Un paracompact espacio de Hausdorff es normal, por lo $X$ tiene una cubierta abierta $\mathscr{W}=\{W_V:V\in\mathscr{V}\}$ tal que para cada $V\in\mathscr{V}$, $\operatorname{cl}W_V\subseteq V$; claramente $\mathscr{W}$ es localmente finito. (Estoy asumiendo que su definición de paracompactness, a diferencia de la mía, incluye Hausdorffness; de lo contrario, deberá agregar la hipótesis de que.)

Considere la posibilidad de cualquier $x\in X$. Si $x\in\operatorname{cl}W_V\in\mathscr{W}$,$x\in V\in\mathscr{V}$, e $\mathscr{V}$ es de punto finito, así que $$G_x=\bigcap_{x\in\operatorname{cl}W_V}V$$ is open. $\mathscr{W}$ is locally finite and hence closure-preserving, so $$H_x=\bigcup_{x\notin\operatorname{cl}W_V}\operatorname{cl}W_V$$ is closed. Thus, $N_x=G_x\setminus H_x$ is an open neighborhood of $x$. Let $\mathscr{N}=\{N_x:x\X\}$; $\mathscr{N}$ is an open cover of $X$.

Fix $x\in X$; hay algunos $V\in\mathscr{V}$ tal que $x\in\operatorname{cl}W_V$, y afirmo que $\operatorname{st}(x,\mathscr{N})\subseteq V$. Para ver esto, supongamos que $x\in N_y\in\mathscr{N}$; a continuación,$x\notin H_y$, lo $y\in\operatorname{cl}W_V$, y por lo tanto $N_y\subseteq G_y\subseteq V$. Desde $N_y$ fue un elemento arbitrario de $\mathscr{N}$ contiene $x$, se deduce que el $\operatorname{st}(x,\mathscr{N})\subseteq V$. (En otras palabras, $\mathscr{N}$ es un baricéntrico abrir el refinamiento de $\mathscr{V}$ y, por tanto, también de $\mathscr{U}$.)

Ahora vamos a $$D=\bigcup_{x\in X}(N_x\times N_x)\;;$$ clearly $D$ is an open neighborhood of the diagonal. Let $F\in\mathfrak{F}$ be arbitrary, and suppose that $F\times F\subseteq D$. Fix $x\in F$. Then for each $s\in F$, $\langle x,y\rangle\F\times F\subseteq D$, so there is some $z\in X$ such that $x,y\in N_z$. Thus, $F\subseteq\operatorname{st}(x,\mathscr{N})\subseteq V$ for some $V\in\mathscr{V}$. But $\mathscr{V}$ refines $\mathscr{U}$, so $V$ (and hence $F$) is disjoint from some member of the filter $\mathfrak{F}$. This is impossible, so for all $F\in\mathfrak{F}$ we must have $F\veces F\nsubseteq D$, and $\mathfrak{F}$ es, por tanto, no es de Cauchy.