¿Existe una función no decreciente $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que el casco convexo de su gráfico cubre $\mathbb{R}^2$ ?
Recordemos que $Graph(f):=\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}$ y $conv(A):=\{\sum_{i=1}^n t_i a_i\mid n\in\mathbb{N}, \forall i=\overline{1,n},\ t_i\ge0, a_i\in A,\ \sum_{i=1}^n t_i=1\}$ es el conjunto convexo más pequeño que contiene $A$ .
El casco convexo del gráfico de $f(x) = x^3$ cubre $\mathbb R^2$ .
Para un punto $(x,y)$ con $y > x^3$ , tomar la línea a través de $(x,y)$ y $(x-1, (x-1)^3)$ . Esta es una línea con pendiente positiva que está por encima de la gráfica de $f$ en $(x,y)$ sin embargo, $f$ crece más rápido que cualquier función lineal, por lo que esta línea acaba chocando con la gráfica de $f$ de nuevo en $(x', x'^3)$ para algunos $x'>x$ .
Por lo tanto, $(x,y)$ se encuentra en el segmento de línea que une $(x-1, (x-1)^3)$ y $(x', x'^3)$ por lo que está en el casco convexo de la gráfica de $f$ .
Para un punto $(x,y)$ con $y < x^3$ el mismo argumento se aplica, por simetría. (Entonces $-y > -x^3$ Así que $(-x,-y)$ está en un segmento de línea con puntos extremos $(a,a^3)$ y $(b,b^3)$ y $(x,y)$ está, por tanto, en un segmento de línea con puntos extremos $(-a,-a^3)$ y $(-b,-b^3)$ .)
+1: Bonito. Si $y \neq x^3$ siempre se puede encontrar una línea a través de $(x,y)$ con una pendiente lo suficientemente grande como para que la cúbica resultante tenga dos (y por tanto tres) raíces reales distintas.
@Misha Lavrov La primera parte está bien. La parte con $y<x^3$ está incompleta. No sé a qué te refieres con simetría, pero la pendiente a través de $(x,y)$ y $((x-1),(x-1)^3)$ sólo es positivo si $y\ge(x-1)^3$ . No estoy seguro de que esta parte se pueda corregir.
@copper.hat por favor escribe lo que quieres decir con una pendiente suficientemente grande. ¿Es esa pendiente no negativa?
Estoy de acuerdo en que el casco convexo de $f(x)=x^3$ cubre $\mathbb{R}^2$ . En primer lugar, observe que en el primer cuadrante el conjunto:
Por encima de $=\{(x,y)\mid x>0,\ y\ge x^3\}$ se incluye en el casco convexo porque toda línea con pendiente positiva que pasa por el origen interseca $x^3$
Por simetría -Sobre lo que es Abajo $x^3$ en el tercer cuadrante está en el casco convexo
El casco convexo de Above $\cup$ -Lo anterior cubre lo positivo $y-$ eje y abajo $x^3$ en el primer cuadrante. Por lo tanto, el primer (y por simetría) tercer cuadrante están en el casco convexo y eso es suficiente.
Definir los rayos $R_1 = \{(t,t):t\le 0\}, R_2 = \{(t,2t):t\ge 0\}, R_3 = \{(t,t/2):t\ge0\}.$ Obsérvese que el casco convexo de $R_1\cup R_2 \cup R_3$ es todo $\mathbb R^2.$
Ahora podemos elegir secuencias $P_n \in R_2, Q_n \in R_3,$ ambas secuencias $\to \infty,$ tal que la trayectoria poligonal
$$\tag 1 R_1 \cup[(0,0),P_1]\cup [P_1,Q_1]\cup [Q_1,P_2]\cup [P_2,Q_2] \cup [Q_2,P_3] \cup \cdots$$
es el gráfico $G_f$ una función continua creciente $f$ en $(-\infty,\infty).$
Porque $(0,0),P_1,P_2,\dots \in R_2$ y $(0,0),Q_1,Q_2,\dots \in R_3,$ ambos $R_2,R_3$ son subconjuntos del casco convexo de $G_f.$ Así es $R_3.$ Dado que el casco convexo de $R_1\cup R_2 \cup R_3$ es todo $\mathbb R^2,$ lo mismo ocurre con el casco convexo de $G_f.$
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¿Puede dar un ejemplo de alguna función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que hace esto?
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@Wintermute Si hace la diferencia puedes tomar una multifunción pero la parte no decreciente debe quedarse.
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@Wintermute: La función $f(x) = x \sin x$ hace esto.
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@copper.hat Esa función no es no decreciente.
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Lo sé, el primer comentario pide un ejemplo de cualquier función. Por eso he dirigido mi respuesta a esa persona.
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@Wintermute: En realidad hay funciones de los reales a los reales cuyas gráficas son densas en el plano. Para algunos ejemplos, ver Función con rango igual a los reales enteros en cada conjunto abierto Y Funciones reales extrañas Y mi respuesta a Ejemplos de conjuntos densos en el plano complejo .
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@copper.hat lo tiene