Prueba de la identidad de una ecuación diferencial

Question

Agradecería si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema:

Q: $f''(x)$ continua en $\mathbb{R}$ demostrar que $$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=f''(x)$$

Answer 1

Utilice La regla de L'Hospital

$$ \lim_{h\to 0}\frac{F(h)}{G(h)}=\lim_{h\to 0}\frac{F'(h)}{G'(h)}$$

Puede utilizar la regla si tiene $\frac{0}{0}$ resultado.

Hay que aplicarlo 2 veces

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}= \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{f''(x+h)+f''(x-h)}{2}=f''(x)$$

Answer 2

Pista: ¿cuál es la definición límite de una derivada? Intenta escribirla, aplicándola primero a $f(x)$ y luego aplicarlo a $f'(x)$ . ¿Puede aplicar esta definición varias veces para obtener lo que busca? (Ten en cuenta que debes tener cuidado en este argumento, ya que requiere la continuidad de $f''(x)$ !)

Answer 3

Sea $N_{\delta}(c)=(c-\delta,c+\delta)$ sea una vecindad de $c$ donde $f''$ es continua, entonces para cualquier $0<h<\delta$ tenemos a partir del Teorema de Taylor con $R_2$ el resto en la forma de Lagrange

$f(c+h)=f(c)+hf'(c)+\frac{h^2}{2!}f''(c+\theta h)$ , ( $0<\theta<1$ )
$f(c-h)=f(c)-hf'(c)+\frac{h^2}{2!}f''(c-\theta 'h)$ , ( $0<\theta '<1$ )

y $\displaystyle\lim_{h\to 0}f''(c+\theta h)=f''(c)$ y $\displaystyle\lim_{h\to 0}f''(c-\theta ' h)=f''(c)$ .

Creo que con estos resultados se puede hacer el cálculo fácilmente.