Topología: si para cada a$A,B \in T$, $A \subset B$ o $B \subset A$, entonces la arbitrariedad de la unión de elementos de T es un elemento de T

Question

Estoy tratando de demostrar que si $T$ es una colección de subconjuntos de a $X$, tal que para cada a$A,B\in T$, $B \subset A$ o $A \subset B$, $\bigcup_{i\in I}A_i \in T$

Sé que $B\cup A=A$ si $B \subset A$ $B\cup A=B$ si $A \subset B$ pero no sé cómo demostrar la afirmación anterior y no puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Esto no es cierto. Deje $\{a_n\}$ ser estrictamente una disminución de la secuencia en $\mathbb R$ convergente a algunos $a\in\mathbb R$, vamos a $\{b_n\}$ será cada vez más una secuencia en la $\mathbb R$ convergente a algunos $b\in \mathbb R$, y poner $T=\{[a_n,b_n]:n\in\mathbb N\}$. A continuación, $T$ satisface todos los criterios, sino $\cup T\notin T$.

Answer 2

Considere la posibilidad de la colección de intervalos en la recta real de la forma $(-\infty,q)$ donde $q$ es un número racional. Esta es una contables de la colección de la que es isomorfo a los números racionales como mucho como ordenar que se va.

Pero claramente no es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos, ya que tomando cualquier número irracional $r$ y considerar los intervalos acotados por $r$ a partir de esta colección.

Tal vez un simple ejemplo es como el anterior, pero tomando las $q$ a ser cualquier número real. A continuación, la unión de todo el conjunto es el de los números reales, que no es un intervalo acotado.