Deje $\xi=(E,p,B)$ principal $G$-bundle y $\eta=(P,\pi,Q)$ un verdadero vector paquete tal que $\operatorname{rank}(\eta)=n$. Podemos considerar que una classificant espacio de $BG$. ¿Cuál es la clasificación de mapa de $f:X \rightarrow BG$? ¿Por qué el nombre de "clasificar"? ¿Cómo se puede construir la clasificación de mapa para $\eta$?
Respuesta
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Dado cualquier director $G$-bundle $E' \to X'$, y un mapa de la $X \to X'$, el pullback $E' \times_X' X \to X$ es un mapa que es fácil ver a un director de $G$-bundle. La idea de la clasificación de espacio es que es un espacio de $BG$, con un principal de $G$-bundle $EG \to BG$, de tal manera que cualquier director de $G$-paquete sobre cualquier espacio de $X$ es un retroceso de este paquete. Por lo tanto, la principal $G$-paquetes de más de $X$ (hasta el isomorfismo) están en bijective correspondencia con los mapas de $X \to BG$ (hasta homotopy). Es decir, se asigna a $BG$ 'clasificar' principal $G$-paquetes.
En muchos casos, una vez que usted probar que un espacio de este tipo existe (que no es en absoluto obvio), no preste mucha atención a la construcción explícita de la clasificación de los mapas. De hecho, parte del punto de que la cosa es cambiar un poco opaco teoría, el estudio de vector de paquetes y el director paquetes -- con una teoría que tiene más maquinaria desarrollada para él -- el estudio de homotopy clases de mapas. Esto es sólo mi opinión, a pesar de que -- su kilometraje puede variar.
Una forma de construir $BG$ es dejar a $EG$ ser cualquier contráctiles de espacio libre $G$-acción, y $BG = EG/G$. Claramente $EG \to BG$ es una de las principales $G$-bundle, y la contractibilidad y la libertad de la $G$-acción en $EG$ implica que no hay obstáculos para la definición de una $G$-mapa de una entidad de $G$-paquete de a $EG$, que desciende a un mapa de $X \to BG$. Para más detalles, véase, por ejemplo, estas notas.
Ahora, este responde a sus preguntas acerca de los principales $G$-paquetes. El secreto de la última pregunta es, que el verdadero vector de paquetes son realmente director haces así, son principal $O(n)$-haces! Para convertir un vector paquete de $E \to X$ en una entidad de $O(n)$-bundle, se sustituya por el marco bundle $\mathrm{Fr}(E) \to X$, que es un paquete cuya fibra de más de un punto de $x \in X$ es el conjunto de bases ortonormales para $E_x$. (Usted tiene que elegir una métrica en el vector paquete de primera, pero esta siempre existe si $X$ es, por ejemplo, paracompact.) Por el contrario, dado un director de $O(n)$-bundle $P \to X$, se puede reemplazar el paquete cuyas fibras se $P_x \times \mathbb{R}^n$ mod su diagonal $O(n)$-acción, que es un verdadero vector de paquete. Estas asignaciones son mutuamente inversas, así que cuando hablamos de real del vector de paquetes, bien podríamos estar hablando de un director de $O(n)$-paquetes.
Tan real rango $n$ vector de paquetes son clasificados por $BO(n)$, lo que hay en realidad es una bonita construcción geométrica de. Deje $EO(n)$ ser el espacio de secuencias de $n$ ortonormales de vectores en un infinito de dimensiones interiores espacio del producto. Esto claramente tiene un $O(n)$-acción, y se puede comprobar que es contráctiles. El cociente $EO(n)/O(n)$ es el espacio de la $n$-planos dimensionales (nos hemos olvidado de sus bases) en este infinito espacio tridimensional, también llamado el Grassmannian $\mathrm{Gr}_n(\mathbb{R}^\infty)$. En particular, una dimensión del vector de paquetes son clasificados por $\mathrm{Gr}_1(\mathbb{R}^\infty) = \mathbb{R}P^\infty$.
Similares observaciones se aplican a otro tipo de vector de paquetes. Por ejemplo, la clasificación complejas $n$ vector de paquetes son de la misma como directora $U(n)$-paquetes, y estos se clasifican por el Grassmannian de copias de $\mathbb{C}^n$$\mathbb{C} P^\infty$.
