Deja caer una pelota en un tazón en forma de paraboloide. ¿A qué distancia del fondo del cuenco se detendrá la pelota?

Question

Esta es una pregunta que me gusta plantear de vez en cuando en una clase de cálculo multivariable:

Se deja caer una esfera de radio 4 en un paraboloide en forma de cuenco dado por $z = x^2+y^2$. ¿Qué tan cerca llegará la esfera al vértice del paraboloide?

El problema se puede resolver utilizando técnicas estándar de optimización discutidas en cálculo multivariable, como multiplicadores de Lagrange o encontrando las raíces de la(s) derivada(s) de la función objetivo adecuada. También se puede reducir fácilmente a un problema en 2D explotando la simetría o introduciendo coordenadas polares, e incluso a un problema en una variable, pero los enfoques de solución obvios todavía parecen requerir multiplicadores de Lagrange o encontrar las raíces de la(s) derivada(s) de la función objetivo.

Sin embargo, me he preguntado si hay alguna manera (especialmente una inteligente) de resolver este problema que no use cálculo. ¿Alguien ha visto tal solución, o alguien puede pensar en una?

(Me abstendré de publicar qué tan cerca llega la esfera al fondo del cuenco para aquellos que disfrutarían trabajando en el problema por sí mismo.)

Answer 1

Como dices, este es realmente un problema bidimensional. Buscamos un punto $(x,z)$ en la parábola $z=x^2$ tal que la longitud de la normal desde ($x,z)$ hasta el eje $z$ sea $4$. La pendiente de la parábola es $2x$, por lo que la pendiente de la normal es $-1/(2x)$. Así que la normal se encuentra con el eje $z$ en $(0,z+\frac{1}{2})$. La longitud al cuadrado del segmento de línea desde $(x,z)$ hasta $(0,z+\frac{1}{2})$ es $x^2+\frac{1}{4}$, que es $16$ por hipótesis. Por lo tanto, $x = \frac{3}{2}\sqrt 7$, y la altura del centro de la esfera es $z+\frac{1}{2} = x^2+\frac{1}{2} = \frac{65}{4}.

Así que no necesitas multiplicadores de Lagrange. Solo necesitas la pendiente de una parábola.