la resolución de $y' - yy'x^2-x=0$

Question

¿Cómo puedo solucionar esto?

$$y' - yy'x^2-x=0$$

Yo sólo tengo la homogeneidad de la solución que he encontrado es (yo dividido por $y'$)

$$y=\frac{1}{x^2}$$

Pero no sé cómo obtener la solución particular, que tengo por cierto es que no es una constante, como he tratado de encontrar en cada manera posible, podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

$$y'-yy'x^{ 2 }-x=0\\ { y }^{ \prime }\left( 1-y{ x }^{ 2 } \right) -x=0\\ \frac { dy }{ dx } \left( 1-y{ x }^{ 2 } \right) -x=0\\ 1-y{ x }^{ 2 }-x{ x }^{ \prime }=0\\ z={ x }^{ 2 }\Rightarrow { z }^{ \prime }=2x{ x }^{ \prime }$$ $$1-yz-\frac { { z }^{ \prime } }{ 2 } =0$$ lo que convierte a la "ecuación diferencial Ordinaria "el respeto a la $z$

$$2-2yz-{ z }^{ \prime }=0$$

$$2-2yz-{ z }^{ \prime }=0\\ { z }^{ \prime }=-2yz\\ \frac { { z }^{ \prime } }{ z } =-2y\\ \int { \frac { dz }{ z } =-2\int { ydy } } \\ \ln { \left| z \right| } =-{ y }^{ 2 }+C\\ z=C{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }\\ z=C(y){ e }^{ -{ y }^{ 2 } }\\ { z }^{ \prime }={ C }^{ \prime }{ (y)e }^{ -{ y }^{ 2 } }-2y{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }C(y)\\ 2-2yC(y){ e }^{ -{ y }^{ 2 } }-{ C }^{ \prime }{ (y)e }^{ -{ y }^{ 2 } }+2y{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }C(y)=0\\ { C }^{ \prime }{ (y)e }^{ -{ y }^{ 2 } }=2\\ { C }^{ \prime }(y)=2e^{ { y }^{ 2 } }\\ C(y)=2\int { { e }^{ { y }^{ 2 } } } dy+C\\ z={ e }^{ -{ y }^{ 2 } }\left( 2\int { { e }^{ { y }^{ 2 } } } dy+C \right) $$ así que la respuesta final es :

$$\\ { x }^{ 2 }={ e }^{ -{ y }^{ 2 } }\left( 2\int { { e }^{ { y }^{ 2 } } } dy+C \right) $$

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, #2 \,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Escribir th ecuación de $\ds{y' - yy'x^{2} - x = 0}$ $\ds{-x\,\dd x + \pars{1 - x^{2}y}\dd y = 0}$. Se multiplican ambos miembros por $\ds{\mathrm{C}\pars{x,y}}$. Esto significa $\ds{-\mathrm{C}\pars{x,y}x\,\dd x + \mathrm{C}\pars{x,y}\pars{1 - x^{2}y}\dd y = 0}$ y el conjunto de \begin{align} \partiald{\bracks{-\mathrm{C}\pars{x,y}x}}{y} & = \partiald{\bracks{\mathrm{C}\pars{x,y}\pars{1 - x^{2}y}}}{x} \\[3mm] \imp\quad-\,\partiald{\mathrm{C}\pars{x,y}}{y}\,x & = \partiald{\mathrm{C}\pars{x,y}}{x}\pars{1 - x^{2}y}-2xy\,\mathrm{C}\pars{x,y} \end{align} Es conveniente, por simplicidad, para que elija $C$ como una función de la $y$ ( independiente de $x$ ) tal que $\mathrm{C}\pars{y} = \expo{y^{2}}$. Esto significa que $$ \dd\Phi = -x\expo{y^{2}}\,\dd x + \expo{y^{2}}\pars{1 - x^{2}y}\dd y = 0 \quad\mbox{es una diferencial exacta.} $$ A continuación, \begin{align} \partiald{\Phi}{x} & = -x\expo{y^{2}}\quad\imp\quad\Phi = -\,\half\,x^{2}\expo{y^{2}} + \mathrm{f}\pars{y} \\[3mm] \partiald{\Phi}{y} & = -x^{2}y\expo{y^{2}} + \mathrm{f}'\pars{y} = \expo{y^{2}}\pars{1 - x^{2}y}\quad\imp\quad\mathrm{f}'\pars{y} = \expo{y^{2}}\ \imp\ \mathrm{f}\pars{y} = \int\expo{y^{2}}\,\dd y \end{align}

Así, su solución está dada por implicitily $$ \begin{array}{|c|}\hline\mbox{}\\ \ds{\quad\mbox{constant} = \Phi = -\,\half\,x^{2}\expo{y^{2}} + \int\expo{y^{2}}\,\dd y\quad} \\ \mbox{} \\ \hline \end{array} $$

Answer 3

Un enfoque si usted está bien con una potencia de serie de la representación es para hacer una pausa en este paso:

$$y'(1-yx^2) = x \\\text{or}\\ y'-x^2y'y=x$$

Ahora suponga $$y = \sum_{k=-\infty}^\infty c_kx^k$$

La resta, la diferenciación w.r.t. $x$ y multiplicación con $x^2$ se comporta muy bien en los coeficientes en el espacio de la combinación lineal de monomials. El complicado/parte confusa será el producto $y'(1-yx^2)$. Se convertirá en un (desplazado) auto-convolución (con signo inverso) para nuestro coeficientes. La clave aquí será que el lado derecho es muy simple. Sólo un 1-valor ($1\cdot x$) y todos los demás son 0.

Para casi todas las posiciones habrá una ecuación de un particular, el coeficiente es igual a negativo el producto escalar de dos permutada coeficiente de vectores. Caramba esto tiene más confuso, a continuación, pensé. Creo que voy a necesitar para hacer una pregunta sobre mi propia para la resolución de este.