Demostrar que $A^2=A\iff \Sigma K=I_r$

Question

Deje $A$ ser un cuadrado de matriz compleja y deje $A=U\Sigma V^*$ ser una descomposición de valor singular. A continuación, $A$ puede ser escrito como

$$A=U\begin{bmatrix} \Sigma K & \Sigma L\\ 0 & 0 \end{bmatrix} U^*$$ donde $V^* =\begin{bmatrix} K & L\\ M & N \end{bmatrix}U^*$. Tenga en cuenta que $KK^*+LL^*=I$.

Pregunta:

Demostrar que $$A^2=A \iff \Sigma K=I_r$$

$(\Leftarrow)$ es fácil por la verificación.

Mientras se hace la $(\Rightarrow)$ implicación, mediante la comparación de $A^2$ $A$ tengo

$\left(\Sigma K\right)^2=\Sigma K$ $\Sigma K \Sigma L=\Sigma L$.

Cómo proceder en el futuro?

Answer 1

Lo que queda por comprobar es que el $\Sigma K x=x$ todos los $x$. Pick $x$. Desde $\Sigma$ es positiva definida, podemos escribir \begin{align*} x&=\Sigma\Sigma^{-1}x=\Sigma(KK^* + LL^*)\Sigma^{-1}x\\ &=\Sigma K(K^*\Sigma^{-1}x)+\Sigma L(L^*\Sigma^{-1}x). \end{align*} Como ya has comprobado que $(\Sigma K)^2=\Sigma K$$\Sigma K\Sigma L=\Sigma L$, nos encontramos con \begin{align*} \Sigma K x&=(\Sigma K)^2(K^*\Sigma^{-1}x)+\Sigma K \Sigma L(L^*\Sigma^{-1}x)\\ &=\Sigma K(K^*\Sigma^{-1}x)+\Sigma L(L^*\Sigma^{-1}x)\\ &= x, \end{align*} que era lo que queríamos.