Me pregunto sobre el espacio de clasificación de las fracciones diádicas $ \mathbb Z[1/2]$ ? No tengo ni idea de cómo empezar a responder a la pregunta, así que mis disculpas por mostrar una falta de esfuerzo.
Más generalmente, dado un grupo abeliano $G$ se puede ver como un $ \mathbb Z$ -módulo, y así podemos formar su localización en algún elemento. ¿Hay alguna forma de relacionar $K(G,1)$ con $K(S^{-1}G,1)$ ?
Puedes construir un espacio de clasificación como un telescopio de mapeo. Deje que $f:S^1 \to S^1$ ser un título $2$ mapa y dejar que $T$ ser el telescopio de la secuencia $S^1 \to S^1 \to S^1 \to\dots $ donde los mapas son todos $f$ . Los grupos de homotopía de $T$ serán entonces los colimites de la secuencia inducida de mapas sobre los grupos de homotopía de $S^1$ . Esto significa que $ \pi_n (T)=0$ para $n \neq 1$ y $ \pi_1 (T)$ es exactamente la localización $ \mathbb {Z}[1/2]$ así que $T$ es un $K( \mathbb {Z}[1/2],1)$ .
En términos más generales, si $G$ es un grupo abeliano y $X$ es un $K(G,1)$ espacio, para cada $n \in\mathbb {Z}$ hay un mapa $n:X \to X$ que induce a la multiplicación por $n$ en $ \pi_1 $ . El telescopio cartográfico de la iteración de este mapa es entonces un $K(G[1/n],1)$ . Si quieres invertir todo un conjunto multiplicador cerrado $S$ De manera similar, puedes tomar un telescopio cartográfico de mapas $n:X \to X$ para diferentes valores de $n \in\mathbb {Z}$ siempre y cuando el conjunto de primos que son factores de infinitamente muchos de los $n$ es el mismo que el conjunto de primos que dividen los elementos de $S$ .
El grupo Baumslag-Solitar $G= \mathbf {Z}[1/2] \rtimes\mathbf {Z}$ actúa de forma adecuada (y libre) en un espacio contratable, a saber, el producto $P$ del plano hiperbólico y de un árbol trivalente $T$ que puede ser elegido para ser el árbol de Bruhat-Tits de $ \mathrm {SL}_2( \mathbf {Q}_2)$ o el árbol Bass-Serre cuando $ \mathbf {Z}[1/2] \rtimes\mathbf {Z}$ es vista como una extensión ascendente de HNN de $ \mathbf {Z}$ . Tomando el cociente por el $ \mathbf {Z}[1/2]$ -acción, al obtener un espacio de clasificación para esta última (que además es compacta localmente).
[Es innecesario aquí, pero uno puede notar que hay un $G$ -subconjunto invariable $Q$ en $P$ de la forma $\{(x,y):b(x)+b'(y)=0\}$ para las funciones adecuadas de Busemann $b,b'$ en el plano hiperbólico y en el árbol, y $Q$ en sí mismo es homeomórfico a $T \times\mathbf {R}$ entonces se puede tomar el cociente de $Q$ por el $ \mathbf {Z}[1/2]$ -acción para conseguir un espacio de clasificación más pequeño (cerrado en el anterior)].
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