El primer intento de sustituir $x=\frac{2}{3}u$ y la brecha a través de por $\sin^n(\frac{2}{3}x)$ superior e inferior.
Así que ahora tenemos,
$$\frac{2}{3} \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cot^n (\frac{2}{3}x)} dx $$
Ahora para $\frac{2}{3}x \in (0,\frac{\pi}{4})$ tenemos $\cot \frac{2}{3} x>1$, por lo que existe el integrando tiende a $0$. Este es al $x \in (0,\frac{3\pi}{8})$. Mientras que para $x \in (\frac{3\pi}{8},\frac{3\pi}{4})$ tenemos $\cot \frac{2}{3} x \in (0,1)$, por lo que existe el integrando tiende a $1$, por lo que tenemos,
$$=\frac{2}{3} \int_{\frac{3}{8}\pi}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$$
$$=\color{red}{\frac{\pi}{12}}$$
Para la segunda integral con $x=u+\pi$ tenemos,
$$I=\int_{-\pi}^{\pi} (x+\pi)\frac{\sin^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)} dx$$
Observe que $x\frac{\sin^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)}$ es impar.
$$\color{blue}{I}=\color{blue}{\pi \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)} dx}$$
$$=\pi \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{100} (x)+\cos^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)}$$
$$=\pi(2\pi-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)} dx)$$
$$=2\pi^2-\color{blue}{\pi\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)}} dx$$
Pero,
$$\color{blue}{I}=\pi \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)} dx$$
$$=\pi \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^{100} (x)}{\sin^{100} (x)+\cos^{100} (x)} dx$$
Sigue de$x=\frac{\pi}{2}-u$$u-\frac{\pi}{2}=v$.
Así,
$$I=2\pi^2-I$$
$$I=\color{red}{\pi^2}$$
De hecho todo lo que he escrito para esta va a trabajar para $n$ incluso un entero positivo en lugar de $100$.
