Así que me he quedado perplejo por este problema desde hace algún tiempo: Supongamos que tenemos una barra de chocolate con dimensiones de $m*n$ y se compone de un número finito de $1*k$ chocolates. La prueba de que para cualesquiera números naturales m,n,k, para que el chocolate se hizo, k debe repartir al menos uno de los m,n. Ahora esta solución llegado tan lógico para mí que no puedo ni siquiera empezar a pensar en una manera de obtenerla. Realmente agradecería su ayuda. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2|0\leq x \leq m,0 \leq y \leq n\}$. A continuación, $D$ es la unión de los subconjuntos de que el tipo de $\{i\leq x \leq i+1,j\leq y \leq j+k \}$ o $\{i\leq x \leq i+k,j\leq y \leq j+1\}$. Ahora $$\int_D\sin (\frac{2\pi}{k}x)\sin (\frac{2\pi}{k}y)dxdy=0$$ because on each of the aforementioned subsets this integral vanishes. On the other hand $$\int_D\sin(\frac{2\pi}{k}x)\sin(\frac{2\pi}{k}y)dxdy=\int_0^m\sin(\frac{2\pi}{k}x)dx\int_0^n\sin(\frac{2\pi}{k}y)dy$$ so one of these two integrals must vanish. This yields that either $k|m$ or $k|n$.
Alexander Kleinhans
Puntos
99
He aquí otra prueba de uso de colorante de ideas. Escribir como una matriz de $m*n$. Ahora el número de filas de la forma $\{0,1,2,...,m-1\}$. Del mismo modo el número de columnas de a $\{0,1,2,...,n-1\}$.Ahora cada elemento de la matriz se define a ser $r+c \hspace{1mm}mod\hspace{1mm}k$donde $r$ es el número de la fila y $c$ es el número de la columna.Ahora wlog decir $k\nmid m$.Ahora tratamos de mostrar que se tiene que dividir definitivamente $n $.Ahora observamos que en este colorear el número de $0's,1's,2's...$ debe ser el mismo o los demás no podemos cubrir con $1*k$ azulejos. Desde donde alguna vez nos hemos puesto a $1*k$ bloque tendrá todos los números de $0$$k-1$.Así que ahora tenemos que exhiben un número que hay en la matriz no $m*n/k$ veces.
Encontrar deje $r_1 \equiv m \hspace{1mm}mod\hspace{1mm}k$$r_2 \equiv n \hspace{1mm}mod\hspace{1mm}k$.Entonces es claro que $r_1$ repite más de $mn/k$ si $r_2 \neq 0$.El número de $r_1$ aparece $[(m/k)]$+1 veces en primera fila, y esta tendencia continúa para la próxima $r_1$ columnas y hasta k ésima columna es alcanzado se queda sólo [$m/k$].Así, en k columnas el número de veces que los números de repetición será la $m$.Por lo tanto $r_1$ es un número que se repite más de $mn/k$ veces.
