Demostrar que $\left (\frac{a^2 + b^2 +c^2}{a+b+c} \right) ^ {(a+b+c)} > a^a b^b c^c$

Question

Demostrar que $\left (\dfrac{a^2 + b^2 +c^2}{a+b+c} \right) ^ {(a+b+c)} > a^a b^b c^c$el % si $a$, $b$ y $c$ son números naturales diferentes. ¿Es posible utilizar la inducción?

Answer 1

Te recomiendo leer la respuesta de aquí. sección desigualdad de AM-GM ponderado :) es una buena.

Answer 2

Volver a escribir como: $$ \left (\frac{a}{a+b+c} + b \frac{b}{a+b+c} + c \frac{c}{a+b+c} \right) > ^\frac{a}{a+b+c} \cdot b^\frac{b}{a+b+c} \cdot c^\frac{c}{a+b+c} $$ Esta es la desigualdad de Jensen: $$ \log\left(\mathsf{E}\left(X\right)\right) > \mathsf{E}\left(\log\left(X\right)\right) \quad \text{o}\quad \mathsf{E}\left(X\right) > \exp \left( \mathsf{E}\left(\log\left(X\right)\right) \right) $$ donde $X$ es la variable aleatoria que puede asumir uno de los tres posibles valores de $\{a,b,c\}$ con sus respectivas probabilidades de $\{ \frac{a}{a+b+c}, \frac{b}{a+b+c}, \frac{c}{a+b+c} \}$.