Nudo de trébol y la Figura 8 nudo son los principales nudos

Question

Sé que, en general, es difícil decir si el nudo es primo o no. Sin embargo, la página de la Wikipedia, ha establecido que el nudo de trébol y la figura 8 nudo son los principales nudos.

He conseguido sacar el Seifert círculos para estos dos nudos, y obtuvo el género de sus Seifert superficies.

Para el nudo de trébol, conseguí $g(S_1)=(3-2+1)/2=1$, y para la figura 8 nudo, conseguí $g(S_2)=(4-2+1)/2=3/2$. Sé que se supone que el uso de Seifert Teorema que $g(K\#L)=g(K)+g(L)$, de alguna manera, pero ¿qué puedo hacer?

Answer 1

Usted debe encontrar que la figura 8 nudos (con su estándar de nudo diagrama) tiene 4 cruces, 3 Seifert círculos y 1 componente que le da un nudo género de $(2+4-3-1)/2=1$. Dado que el nudo de género es un número natural, y el trébol y la figura 8 nudos no son triviales, podemos deducir que ambos tienen género 1. Si no eran primos, entonces no existiría dos nudos de enteros positivos género (como la unknot no es primo), cuya geni añadir a dar 1, por el Teorema de Seifert. Esto es claramente una contradicción.