Deje $X$ ser un topológico de Hausdorff espacio con $|X|> \mathfrak c$. Qué $X$ siempre tienen un incontable discretos subespacio? Gracias por tu ayuda.
Respuesta
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Un resultado de Hajnal y Juhasz dice lo siguiente:
Dado cualquier espacio de Hausdorff $X$, $|X| \leq 2^{2^{s(X)}}$; en particular, todo espacio de Hausdorff con contables se ha propagado el tamaño de la $\leq 2^{2^\omega}$.
Sin embargo, Todorcevic dio el siguiente resultado de consistencia:
Suponiendo que la PFA, cada espacio de Hausdorff con contables se ha propagado el tamaño de la $\leq 2^\omega$.
Por otro lado, tendremos la siguiente:
Es coherente que hay un Hausdorff (incluso collectionwise normal) espacio contables propagación de tamaño $2^{\omega_1}$.
(Este valor se obtiene sumando $\omega_1$ muchos Cohen reales a un modelo de CH que además se cumple que existe una familia de $2^{\omega_1}$ muchos incontables los subconjuntos de a $\omega_1$ de manera tal que la intersección de dos miembros distintos es contable; tenga en cuenta que el CH mantenga en la extensión).
Consulte las siguientes referencias para más detalles:
- R. Hodel, el Cardenal funciones que, en el Manual de Conjunto de la teoría de la Topología, pp 1-61. (En particular, la sección 5.)
- I. Juhasz, el Cardenal funciones II, en el Manual de Conjunto de la teoría de la Topología, pp 63-109. (En particular, la sección 2.)
