Dejemos que $f(n)$ sea el número de factores primos del entero positivo $n$ . Encuentre $\lim_{n\to \infty}\frac{f(n)} n$

Question

Dejemos que $f(n)$ sea el número de factores primos del entero positivo $n$ . Encuentre $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{f(n)} n$ .

Sospecho que es igual a $0$ pero, ¿cómo puedo demostrarlo? Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $2^{f(n)}\le n$ Así que $f(n)\le \log_2(n)$ . Ahora se pueden utilizar las herramientas estándar, como la regla de L'Hospital, para demostrar que $\lim_{x\to\infty}\frac{\log_2(x)}{x}=0$ .

Answer 2

El número entero $n$ puede tener como máximo un factor primo superior a $\sqrt n$ Por lo tanto $f(n) \le \sqrt n + 1$ , lo que implica rápidamente que el límite es igual a $0$ .

Answer 3

Dado que sabemos infinitamente que hay infinitas primos podemos tomar $n$ que tiende a ser un primo infinitamente grande.

$\dfrac{f(n)}{n}=\dfrac{1}{p}$ Aquí $f(p)=1$ (¿Por qué?)

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