Dejemos que $$B = \{a : \|a\|_p \le 1\} \subset \ell^p(\mathbb{N})$$ sea la bola unitaria, dotada de la topología débil. Para lo cual $p$ , donde $1 < p \le \infty$ son las funciones de la forma $$f(a) = q(a_0, a_1, \dots, a_n),$$ où $q$ es un polinomio en $a_0, \dots, a_n$ , denso en $C(B)$ ?
Respuestas
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Sin duda, es cierto para $1<p<\infty$ . En ese caso, la topología débil en $B$ es la misma que la topología débil* respecto a $\ell^p$ como el dual de $\ell^{q}$ . Así que $B$ es un espacio Hausdorff compacto, por lo que Stone-Weierstrass implica que esos polinomios son densos en $C(B)$ .
Nota que no especificó qué topología en $C(B)$ a la que te refieres cuando preguntas si esos polinomios son densos en $C(B)$ Supongo que te referías a la topología de la norma.
Ahora para $p=\infty$ . Si usted dio $B$ la topología débil*, respecto a $\ell^\infty$ como el dual de $\ell^1$ Entonces, la misma respuesta funciona.
Pero has dicho "topología débil". En ese caso la pregunta no tiene sentido para $p=\infty$ Al menos, sin una aclaración: $B$ no es compacto, por lo que (a menos que me esté perdiendo algo) las funciones en $C(B)$ no necesita estar acotada, por lo que no existe la topología de la norma en $C(B)$ . Así que la pregunta no tiene sentido hasta que se especifique qué topología en $C(B)$ de la que estás hablando.
Kevin Dong
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Para $1 < p < \infty$ el espacio $\ell^p$ es reflexivo, por lo que las topologías débil y débil-estelar en $B$ coinciden, y por lo tanto $B$ es un espacio compacto de Hausdorff por el teorema de Banach-Alaoglu. Los polinomios en cuestión forman una subálgebra de $C(B)$ que separa puntos, y por el teorema de Stone-Weierstrass esta álgebra es densa en $C(B)$ .
El mismo resultado falla para $p = \infty$ . Sea $\phi \in C(B)$ sea una función lineal acotada tal que $$\phi(a) = \lim a_n$$ cuando $a_n$ converge. Dado un polinomio $q(a_0, a_1, \dots, a_n)$ construye un punto $a \in B$ al establecer $a_i = 0$ para $i \le n$ y $a_i = \pm1$ para $i > n$ con el signo elegido para que no coincida con el signo de $q(0, \dots, 0)$ . Entonces $$|q(a) - \phi(a)| \ge 1,$$ así que $\phi$ no está en el cierre de los polinomios en $C(B)$ .
