¿Cómo demuestro que el derivado de la ruta de acceso $\det(I + tA)$ $t = 0$ es el rastro de $A$?

Question

Aquí, tomo$A$ para ser un operador lineal en$\mathbb R^n$ para$n>1$. ¿Puedes decirme cómo resolver ese problema?

Answer 1

Dejando $B=I+t A$, y el uso de la fórmula de Leibniz de la determinante, en términos de las permutaciones del conjunto $\{1,2, \ldots, n\}$:

$$p(t)=\det(I+tA)=\det(B)=\sum_\sigma {\rm sign}(\sigma) \prod_{i=1}^n b_{i,\sigma_i} \tag{1}$$

Uno de los términos de la suma se compone de la permutación que recoge los elementos de la diagonal; este tiene la forma:

$$(t\, a_{1,1}+1)(t\, a_{2,2}+1)\cdots (t\, a_{n,n}+1)=1+ \beta_1 t + \beta_2 t^2+\beta_3 t^3 + \cdots + \beta_n t^n$$ donde $\beta_1 = a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots + a_{n,n}={\rm tr}(A)$

Los otros términos en $(1)$ incluir, al menos, dos fuera de la diagonal de los elementos en el producto, por lo que incluir un factor de $t^2$.

Por lo tanto, $p(t)=1+ {\rm tr}(A)\,t + t^2 g(t)$ donde $g(t)$ es de algún polinomio; y el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

usaremos los siguientes hechos:

(a) el determinante de una matriz es el producto de los valores propios,

(b) el rastro de una matriz es la suma de los valores propios,

(c) valores propios de$I + tA$ son$1 + t \lambda$ donde$\lambda$ es un valor propio de$A.$

$\det(I + tA) = (1 + t\lambda_1)(1 + \lambda_2)\cdots = 1 + t(\lambda_1 + \lambda_2+\cdots) + \cdots = 1 + \operatorname{trace}(A) t + \cdots$

por lo tanto, la derivada de$\det(I + tA)$ at$t = 0$ es $\operatorname{trace}(A).$%

Answer 3

Para$t$%, tenemos$\det (\exp tA) = \exp (\operatorname{tr} tA) = \exp (t \operatorname{tr} A) = 1 + (\operatorname{tr} A)t + O(t^2)$. (Si la primera igualdad no es clara, use el hecho de que$\exp$ y$\det$ se comportan bien bajo conjugación y reducen la declaración a la forma normal de Jordan).