Encontrar una línea de mejor ajuste a través de una nube de puntos que pasa por un punto específico.

Question

Yo no soy un matemático, así que espero que me haga esta pregunta correctamente; me disculpo por cualquier persona que está molesto con la forma pido que (voy a intentar mi mejor esfuerzo para ser precisos).

Decir que tengo una nube de puntos en $\Re^3$. Quiero ajustar una línea a través de esta nube de puntos. Sin embargo - y este es el trampolín - deseo, la fuerza de la línea a través de un punto especificado en la nube de puntos; es decir, deseo encontrar un vector a través de un punto puedo especificar que minimiza la distancia al cuadrado de todos los puntos de la nube a la línea se extendió por el vector. ¿Esto tiene sentido?

Si me se explicar esto a un no-matemático (como yo), yo diría que quiero "ancla" una línea en uno de los puntos y, a continuación, un mejor ajuste de la línea.

Entiendo que la noción de mínimos cuadrados ordinarios, pero este en particular giro en el problema no tiene sentido para mí.

Gracias de antemano, Ben

Answer 1

Esta noción tiene sentido. Usted todavía tiene dos grados de libertad para la línea, que puede ser de dos ángulos vamos a llamar a la elevación $(E)$ y el acimut de la $(A)$. Es más fácil si se mueve el origen hasta el punto de ancla restando las coordenadas de los puntos de anclaje de cada uno de los puntos en la nube. Entonces la línea se ha parametrización $t(\sin E \cos A, \sin E \sin A, \cos E)$ si se miden $E$ de la $xy$ plano y $A$ a la izquierda desde el $X$ eje. Ahora usted puede encontrar las distancias de cada punto en la nube para la línea utilizando esta fórmula , donde el vector que he dado es $\bf n$, plaza de ellos, y sumarlos. Ahora uso un 2D función minimizer en $A,E$. Dependiendo de los puntos, puede ser mínimos locales para engañar a usted.

Answer 2

Ross de Millikan de la solución de trabajo. Para obtener la respuesta exacta, probablemente más rápido, puede modificar una solución para encontrar el 3D de la línea de mejor ajuste (sin un punto de anclaje). La forma en que funciona es la de calcular la matriz de covarianza de la nube de puntos y la recta de mejor ajuste es la línea a través del centro de gravedad en la dirección del vector propio asociado con el mayor autovalor.

Para modificar esta solución para el problema actual, usted puede hacer la misma cosa, sólo cuando estás calculando la matriz de covarianza, se resta el punto de anclaje de cada punto de la nube de puntos, en lugar de restar el centroide.

Answer 3

El de los mínimos cuadrados el ajuste de una línea/plano/etc. con una restricción adicional de que pasa a través de un punto especificado es usualmente menor para el caso de que ese punto es el origen (restar el punto especificado de todos los datos y el ajuste lineal homogénea de la función). En esta conexión de ajuste del modelo se llama "regresión a través del origen" (RTO) para distinguirlo de mínimos cuadrados ordinarios (MCO).

Algunas de las referencias y discusiones que se dan en las Respuestas a esta Pregunta anterior.

Tenga en cuenta que el número de parámetros de una línea y un plano de la superficie en 3D son iguales, pero hay una diferencia en lo que la distancia más cercana a la línea o el plano es. Que pasa por el origen que hace que el modelo ajustado un subespacio, por lo que la distancia más cercana está dada por (restar) la proyección ortogonal de cada punto de datos en el subespacio.

Como el de mínimos cuadrados ordinarios se obtiene un sistema de ecuaciones lineales a resolver para los parámetros desconocidos, pero el sistema es homogéneo. Uno es, por tanto, la solución para que un trivial solución a un problema como $Au = 0$, y dado que sólo hay tres incógnitas velocidad de la solución no es un problema.