¿' t la definición de indistinción de estocásticos procesos dependen de un sistema no-mensurable?

Question

En la teoría de tiempo continuo de procesos estocásticos, dos procesos de $X$ $Y$ son conocidos como indistinguibles si $\mathbf{P}(\forall t: X_t = Y_t) = 1$. Sin embargo, si $X$ $Y$ se definen en el mismo espacio muestral $\Omega$, entonces no es el conjunto de

$$ \{ \omega \in \Omega: [\forall t: X_t(\omega) = Y_t(\omega)] \} $$

un no-medibles conjunto de $\mathbf{R}^{[0,\infty)}$, ya que mide los valores de $X$ $Y$ a una cantidad no numerable de puntos de índice $t$, y por lo tanto no puede ser un $\sigma$ cilindro? En este caso, ¿cómo la definición de una indistinguible proceso de sentido, puesto que la probabilidad de que un no-medibles conjunto no necesitan ser definidas?

Answer 1

$X$ $Y$ son indistinguibles si existe un $\mathsf{P}$-null set $N$, s.t. para todos los $\omega\notin N$ y $t\in \mathbb{T}$, $X_t(\omega)=Y_t(\omega) $. También el conjunto $I:=\{\omega\in\Omega:[\forall t: X_t(\omega)=Y_t(\omega)]\}$ no será necesario que no se pueden medir. Por ejemplo, si $\mathbb{T}=\mathbb{R}_{+}$ $X$ $Y$ son reales-valores de procesos estocásticos continuo con rutas de acceso, a continuación, $I=\left\{\omega\in\Omega:[\forall t\in \mathbb{Q}_{\ge 0}:X_t(\omega)=Y_t(\omega)]\right\}$ es medible.

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Aquí está un ejemplo sencillo. Deje $(\Omega,\mathcal{F},\mathsf{P})=([0,1],\mathcal{B}_{[0,1]},\mu)$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue, y $\mathbb{T}=[0,1]$. Definir $X_t(\omega)=1_{\{t\}\cap V}(\omega)$ donde $V$ es un subconjunto de a$[0,1]$$Y_t(\omega)\equiv 0$. Tenga en cuenta que $I=V$ en este caso. Por lo tanto, $X$ $Y$ son indistinguibles si $V$ $\mu$- null conjunto y $I$ no es medible si $V\notin \mathcal{B}_{[0,1]}$.