pregunta de cálculo/análisis básico. ¿por qué es $\frac {dy}{dx} dx = dy$?

Question

si $y$ es una función de $x$, ¿por qué es $\frac {dy}{dx} dx = dy$? No he aprendido análisis real, pero han hecho un montón de matemáticas método de cursos en la universidad y esto ha sido que me molesta. ¿Por qué es que usted puede tratar como una fracción?

Me gustaría que el tradicional cálculo primero la vista, entonces tal vez formas diferenciales ver más tarde. $dx$ me es $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$ $\frac {dy}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac {y(x+h)-y(x)}{h}$

Creo $dy$ $\lim_{h\to 0} {y(x+h)-y(x)}$ pero no estoy seguro.

No veo cómo usted puede jugar con estos límites, como si fueran fracciones. Qué prueba hay de que puede hacerlo?

Answer 1

La forma en que los diferenciales de $dx, dy, $ etc son generalmente definidos en la escuela primaria de cálculo es la siguiente:

Considere la posibilidad de una $C_1$ función de $f: \Bbb R \to \Bbb R$.

Podemos definir la tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de $(c,f(c))$ a $y=f'(c)(x-c) + f(c)$.

Aquí el valor de $x-c$ es llamado el incremento de $x$, y se denota $\Delta x$. Así que nuestra función tangente puede ser escrito como $y=f'(c)\Delta x + f(c)$. Tenga en cuenta que $\Delta x$ se evalúa a un valor específico $c$, por lo que debe ser, posiblemente, más correctamente escrito como $\Delta x(c)$ o $\Delta x|_c$, pero que va a ser tedioso, así que voy a dejar la explícita $c$ dependencia.

Debido a que el incremento de $x$ puede ser fácilmente definido en el gráfico de $f$ como en su recta tangente a $y$, también podemos considerar la posibilidad de $\Delta x$ a ser el diferencial de $x$, denotado $dx$. Es decir, vamos a definir $dx := \Delta x$. Usted puede ver que podríamos definir todas las variables independientes de la función de la misma manera que para una función de varias variables ... por $g(x,y)$, tendríamos $dx=\Delta x = x-c_1$$dy=\Delta y = y-c_2$.

El incremento de la función $f$ se define a ser $\Delta f := f(c+\Delta x) - f(c)$. Esta es una medida de cuánto se $f$ ha cambiado dado un cambio en $x$.

Una de las ideas fundamentales del cálculo es que el incremento en el $\Delta f$ debe ser aproximadamente el mismo que el incremento de su tangente $\Delta y$ para los suficientemente pequeños cambios de $x$. De la definición anterior de que el incremento de una función, podemos ver que $\Delta y = y(c+\Delta x) - y(c) = [f'(c)((c+\Delta x) -c) + f(c)] - [f'(c)(c-c)+f(c)]$ $=f'(c)\Delta x + f(c) -0 -f(c) = f'(c)\Delta x$. Por lo tanto $\Delta y = f'(c)\Delta x$.

Podemos definir la diferencial de la función $f$ $c$ a ser igual al incremento de su función tangente. Por lo $df|_c := \Delta y|_c$ o, bajando el $c$ dependencia de nuestra notación, $df:=\Delta y=f'(c)\Delta x$.

Observe que con estas definiciones, hay una diferencia fundamental entre los diferenciales de las variables independientes-como $dx$ - y las funciones de las variables-como la de $df$. El diferencial de una variable independiente es sólo el incremento de la variable, mientras que el diferencial de una función se define como el incremento de la tangente a la función, es decir,$df=\Delta y=f'(c)\Delta x=f'(c)dx$.

También se debe notar, que definimos diferenciales (al menos los diferenciales de funciones) en términos de la derivada, y no al revés como los primeros desarrolladores de cálculo hizo. Por lo que asumimos que una definición de la derivada ya ha sido elaborado y acordado y luego podemos definir nuestros diferenciales en términos de la derivada.

NOTA: es importante que te das cuenta de que $\frac {df}{dx}$ es sólo una sugerente forma de notación para $f'(x)$. NO es una fracción de los diferenciales. De hecho, la única razón por la que usamos es porque ayuda a los estudiantes a aprender cosas como la regla de la cadena. Pero la derivada es en realidad definida por un límite, NO por una relación de infinitesimals (a menos que usted está de aprendizaje no-estándar de análisis).

Así, en respuesta a tu pregunta: el uso de la primera de las definiciones dadas a los estudiantes en la escuela primaria de cálculo. $df$ es, literalmente, definido por $df=f'(x)dx = \frac {df}{dx}dx$.

Ahora, ¿cuáles son los diferenciales y para que sirve? Los diferenciales son una aproximación de la variación de una función para un muy pequeño cambio en la variable independiente(/s). Es decir, $df \approx \Delta f$ al $\Delta x$ es suficientemente pequeña.

De hecho, el más pequeño que hagamos $\Delta x$, la menor diferencia entre el $df$ $\Delta f$ se convierte en. El enunciado matemático de esto es que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac {df}{\Delta f} = 1$. Por lo $df$ $\Delta f$ son "el mismo" para los muy, muy pequeños valores de $\Delta x$.

Porque el OP parece pensar que el cálculo se basa en infinitesimals, voy a tratar de dilucidar esta como falacia. Aviso que yo no uso de infinitesimals en cualquier lugar. $dx=x-c$ es finito. $df=f'(c)dx=f'(c)(x-c)$ es finito. No hay infinitesimals en esta respuesta. Y, más generalmente, en el cálculo, no utilizamos infinitesimals. Su primer curso de cálculo usted puede han hablado de ellos, pero son sólo la intención de ser un método heurístico. No hay definiciones en realidad requieren de ellos.

Una cosa más a tener en cuenta: si usted está familiarizado con Taylor teorema, a continuación, echemos un vistazo a la expansión de Taylor de una $C_k$ función de $f$ cerca del punto de $(c,f(c))$. Tenemos $f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac {f''(c)}{2!}(x-c)^2 + \cdots + \frac {f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + R$, donde el resto de países, $R$, es muy pequeña. A continuación, puede ver que la función tangente a la gráfica de $f$ es sólo el $1$st orden de expansión de Taylor de $f$. Y la diferencia de $df$ es sólo el segundo término de la expansión de Taylor.

NOTA: IMO, una mejor definición más útil de las diferencias es como formas diferenciales. Para una buena referencia, para recoger el libro Cálculo Avanzado: Un Diferencial de las Formas de Aproximación por Harold M. Edwards.

Answer 2

Si usted elige dos puntos en la función, vamos a decir $x_1$$x_2$, el cambio entre las es $\Delta x = x_2-x_1$. Si inserta $x_1$ en la función de $f(x)$, obtendrá $f(x_1)=y_1$. Si inserta $f(x_2)$, obtendrá $y_2$. El cambio entre las es $y_2-y_1=\Delta y$. La pendiente se puede calcular con la fórmula: $\frac{\mathrm{change\:in\:}y}{\mathrm{change\:in\:}x}$, que es el mismo que $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Supongamos que en la figura de abajo se $\frac{\Delta y}{\Delta x}=2$. Si usted ve $1$ a la derecha, el $\Delta x=1$. El taponamiento de que en la fórmula da $\frac{\Delta y}{1}=2 \rightarrow \Delta y=2$. Así que cada paso que ir a la derecha, va a ir en dos pasos.

Para obtener la pendiente tan exactos como sea posible, tenemos que hacer el cambio de $x$ tan pequeño como sea posible. Digamos que $x_2=x_1+h$. Para realizar el cambio tan pequeño como sea posible, necesitamos hacer $h$ tan pequeño como sea posible.

El cambio de $x$$\Delta x$,$h$. Por lo $\Delta x = h$. Ahora tenemos que prepararnos $\Delta y$,$y_2-y_1$. Sabemos que $y_2=f(x_2)$$x_2=x+h$. Por lo $y_2=f(x+h)$. También sabemos que $y_1 = f(x)$. $\Delta y = y_2-y_1 = f(x+h)-f(x)$. Conectar estas en la fórmula $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ hace:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Ahora el problema es que $h\ne0$, debido a la división por $0$ es indefinido. Así que tenemos que hacer $h$ tan pequeño como sea posible, acercándose a $0$. Así:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$