¿Soluciones extrañas en desigualdades radicales?

Question

Estoy familiarizado con las raíces extrañas. Por ejemplo $ \sqrt {x} = x - 2$

Lo resolvemos cuadrando ambos lados \begin {alineado*} & \implies x = x^2 - 4x + 4 \\ & \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \\ & \implies (x-1) (x-4) = 0 \\ & \implies x = 1~ \text {o}~x = 4 \end {alineado*}

¡Pero! Sólo $x = 4$ satisface la ecuación parental, $x = 1$ no lo hace. Por lo tanto $x = 1$ es rechazado.

Primero estaba realmente sorprendido, no podía entender por qué $x = 1$ fue rechazado, porque $x = 1$ se encuentra en el dominio de la ecuación madre ( $ \sqrt {x} = x - 2$ ).

Todavía no puedo entender por qué está siendo rechazado. Porque cuando resolvemos ecuaciones (o desigualdades), tomamos la intersección entre el dominio (que es, $x \geq 0$ ) de la ecuación madre (o desigualdad) y el conjunto de soluciones obtenidas al resolver la ecuación (o la desigualdad). Y $x = 1$ aquí pertenece a ambos, el dominio de la ecuación y el conjunto de $x$ valores obtenidos al resolverlo. ¿Así que se supone que no debe ser rechazado? Además, ¿no se supone que satisfaga la ecuación porque, como dije, pertenece tanto al dominio como al conjunto de valores obtenidos al resolverla. Pero no satisface. Por favor, explíqueme qué está pasando aquí, por qué no satisface a pesar de que pertenece a ambos, como he mencionado antes.

Lo busqué, y llegué a saber que tales raíces se llaman raíces extrañas, y ocurren cuando elevamos ambos lados de una ecuación radical a una potencia pareja. Por lo tanto, siempre debemos conectar los valores obtenidos en la ecuación original para comprobar si satisfacen la ecuación madre o no.

Mi segunda pregunta es, ¿pueden producirse raíces extrañas mientras se resuelven desigualdades radicales también? Si pueden, entonces ¿cómo obtenemos la solución final? Porque tenemos infinitas soluciones en caso de desigualdades radicales. ¿No podemos conectar todos y cada uno de los valores para comprobar si satisfacen o no?

Gracias, y perdón por el largo correo. Quería explicarle lo mejor posible lo que no entiendo.

Answer 1

Cada vez que se transforma una ecuación existe la posibilidad de introducir soluciones extrañas. Un caso muy típico es

$$a=b \to a^2=b^2$$ donde $a=-b$ se arrastra.

Puedes monitorear las soluciones extrañas mientras te transformas, o realizar un rechazo final.

En tu caso, pasar de

$$ \sqrt x=x-2$$ a

$$x=(x-2)^2$$ puedes recordar que $ \sqrt x \ge0 $ lo que implica que $x \ge2 $ . Entonces entre las opciones $x=1$ , $x=4$ el primero es inválido.

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Una situación más desagradable es cuando una transformación te hace dejar caer alguna solución, por ejemplo al escribir

$$a^2=b^2 \to a=b.$$

Cuando esto ocurra, el control final no detectará el error.

Answer 2

De $$(x-1)(x-4)=0$$ tenemos $x=1$ o $x=4$ ya que tenemos $$x \geq 2$$ sólo conseguimos $x=4$ como la solución buscada. ¡Para las preguntas adicionales dé un ejemplo por favor!