¿Qué tipo de trabajo hace moderna algebraists hacer?

Question

Muchas veces en mis estudios, me da la impresión de que el álgebra es una herramienta para ayudar con las otras ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica, teoría algebraica de números, topología algebraica, etc. Cuán verdadero es esto, no estoy seguro.

Así que supongo que quiero preguntar, ¿qué tipo de trabajo realizan moderna algebraists hacer?

• ¿Cuáles son actualmente algunos de los más activos de las áreas de álgebra moderna?

• ¿Qué tipos de problemas algebraists?

• Estoy dando vueltas a la idea de la prosecución de estudios de postgrado de un día, posiblemente en algún tipo algebraico de campo, es decir, el anillo de la teoría o de algo. ¿Qué tipo de investigación y los problemas están abiertas a su media, estudiante de posgrado en álgebra (de cualquier tipo, no solo anillo teoría)?

Esto es parcialmente inspirada por la pregunta ¿Qué moderno-día de los analistas de la realidad?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

No creo lo que estoy haciendo es especialmente activo o popular (así que espero que alguien te responda con una respuesta mejor), pero viendo que nadie ha contestado, yo sólo voy a mencionar una de las cosas algebraists hacer: inventar nuevas álgebras.

El proceso es muy fácil de describir. Puede o no resultar en algo útil. Tomar un conjunto $A$ y definir un conjunto de $F$ de operaciones en $Un$ (mapas de $a^n$ en $Un$, por diversas entero no negativo, con valor de $n$). El conjunto $A$ además de las operaciones de $F$ es lo que llamamos un álgebra, generalmente denota $\mathbf{A} = \langle A, F\rangle$. El álgebra de operadores que ya conoce (por ejemplo, grupos, anillos, módulos) son algunos ejemplos.

En mi trabajo, creo que sobre las diferentes maneras de construir tales álgebras. Por lo general yo trabajo con finito de álgebras, a menudo utilizando un programa de computadora como GAP o el Álgebra Universal de la Calculadora para la construcción de ejemplos y casos de estudio. Miro las características importantes de la álgebras y tratar de entenderlos mejor y hacer afirmaciones generales acerca de ellos.

A la dirección de su última pregunta, existe el siguiente problema abierto en el que trabajé como estudiante de posgrado: Dado un número finito de celosía $L$, ¿existe un número finito de álgebra $\mathbf{A}$ (como se describió anteriormente) tales que $L$ es la congruencia de celosía de $\mathbf{A}$. Esta pregunta es de al menos 50 años de edad y muy importante para nuestro entendimiento finito de álgebras. En 1980 se descubrió (por Palfy y Pudlak) ser equivalente al siguiente problema abierto sobre grupos finitos: dado un número finito de celosía $L$, podemos encontrar siempre un número finito de grupo que tiene $L$ como un intervalo en su subgrupo de celosía? En mi humilde opinión, estos son muy divertidos problemas para trabajar en.

Answer 2

Un puro anillo teórico menudo se ha pensado bastante sobre Kothe de la conjetura. Se ha pensado en las cosas que tiene el morfema "nil". Es el polinomio anillo de un nil anillo nil? Nilpotent tal vez? Cuando usted oye estas teoremas y problemas por primera vez en una sola charla, usted podría tener problemas para distinguir entre preguntas abiertas y solucionado o incluso trivial problemas pronto después de eso. Todos suenan bastante similares. En general, hay un montón de simple suenan problemas como Kothe de la conjetura en el anillo de la teoría que son difíciles. Muchos de ellos probablemente nunca han sido frecuentes.

Algunos de anillo teóricos, yo creo que estos son principalmente de Irán, se han considerado algún tipo de gráfico definido por el anillo de la teoría de la materia. Tome un anillo y llamar a la divisores de cero vértices. El tiro en un borde entre $x$ y $y$ siempre $xy=0$. Obtendrá un gráfico que usted puede hacer todo tipo de cosas. Usted puede pedir que los anillos de inducir una gráfica con esta o aquella propiedad.

A menudo no conmutativa un anillo teórico se busca para algunos tipos de izquierda a derecha simetrías. Si se define a la izquierda Xical anillo de la teoría de la cosa y el derecho Xical anillo de la teoría de la cosa, son el mismo anillo de la teoría de la cosa? El Jacobson radical puede haber sido la inspiración para este.

Otra cosa es que, como en muchas de las matemáticas, algebraists será tratar de clasificar a sus objetos. Anillos, en general, no parece razonable clasificable, lo que deja espacio para los intentos parciales de la clasificación. En el anillo/álgebra teoría de estos a menudo apuntan a la generalización del teorema de Wedderburn.

Esta es una parte muy estrecha de lo que algebraists hacer. Álgebra viene en muchos sabores. La conmutativa-no conmutativa límite es especialmente fuerte en el pienso. También, algunos algebraists va a pensar mucho acerca de álgebra universal, variedades y pseudo-variedades, algunas no. Algunos serán profundamente en el amor en categorías, algunos dirán meh.