Pregunta: Si $x$ es un número algebraico, entonces se produce como una raíz de algunos polinomio con entero (o racional) de los coeficientes. También existe un polinomio con números enteros (racional) de los coeficientes tales que $x$ es el más pequeño de la raíz de este polinomio (w.r.t. el habitual orden de los reales)?
La pregunta es inspirado por una "solución" presentado por un estudiante. El problema era mostrar que el conjunto de los números algebraicos es contable. La solución inicia por la observación de que $\mathbb Q[x]$ es contable. Y luego continuó más o menos como este: "tomamos una enumeración de polinomios en $\mathbb Q[x]$. Entonces omitimos los polinomios sin raíces reales. Asignamos a cada uno de los restantes polinomios de los más pequeños de la raíz. Si omitimos los duplicados de esta nueva lista, se obtiene una enumeración del conjunto de todos los números algebraicos." (Voy a añadir que no es difícil de corregir esta prueba de lo que funciona incluso sin depender de uso más pequeños de la raíz. Hemos countably muchos polinomios, cada uno de ellos tiene sólo un número finito de raíces. La unión de countably muchos finito de conjuntos si contables. Pero esto es una digresión sobre el tema de otros artículos en este sitio web, tales como Demostrar que el conjunto de todos los números algebraicos es contable o ¿Cómo podemos demostrar la existencia de una cantidad no numerable de trascendental números?)
A menos que me haya perdido de algo, puedo demostrado que la respuesta a la pregunta es No. (Simplemente por tomar algunas polinomio irreducible con más de dos raíces reales. A menos que alguien hace esto, puedo ampliar esta en una respuesta y post.)
Todavía considero que el problema lo suficientemente interesante como para publicarlo aquí. (Y es a menudo el caso de que incluso cuando puedo hacer una pregunta a la que yo conozco a una solución, estoy gratamente sorprendido por la alternativa interesante soluciones que hago como respuestas.)
