Finito de $\pi_1(X)$ Hatcher 1.3.9 cada mapa $X\rightarrow S^1$ es nullhomotopic.

Question

Tengo esta pregunta de la Hatcher libro:

Demostrar que si una ruta de acceso, conectada localmente trayectoria-conectado espacio de $X$ $\pi_1(X)$ finito, luego de cada mapa se $X\rightarrow S^1$ es nullhomotopic. [Uso de la cobertura del espacio de $\mathbb{R} \rightarrow S^1$]

Pensé que podría ser resuelto teniendo en cuenta de que si tengo un mapa de $f\colon X\rightarrow S^1$, entonces se genera un homomorphism $f_{\ast}\colon \pi_1(X)\rightarrow \pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$, pero desde $\pi_1(X)$ es finito, todos los elementos de a $\pi_1(X)$ son de orden finito, entonces sólo puede ser enviado a $0\in \mathbb{Z}$. Por lo $f_{\ast}([\gamma])=0$ para cualquier bucle de clase, de manera que donde yo lo uso todo el resto de la información?

Podría alguien decirme donde estoy equivocado?

Answer 1

Mostrando que $f_\ast$ es el cero mapa es un paso importante, pero no es suficiente.

En general, sabiendo que $f_\ast$ es el cero mapa no implican que $f$ es nullhomotopic. Considerar el mapa de identidad $id:S^2\rightarrow S^2$. Desde $\pi_1(S^2)=0$, $id_\ast=0$. Sin embargo, si $id$ fueron nullhomotopic, a continuación, $S^2$ sería contráctiles, que no lo es.

En su caso, deberá utilizar la característica universal de cubrir los espacios. Observar que, desde $f_\ast(\pi_1(X))=0$, que es un subconjunto de a $p_\ast(\pi_1(\mathbb{R}))$ donde $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$ es la parte que cubre el espacio del mapa. Por lo tanto, el mapa de $f:X\rightarrow S^1$ ascensores de un mapa de $\tilde{f}:X\rightarrow\mathbb{R}$.

Observe que $\mathbb{R}$ es contráctiles. Se puede tomar desde aquí?