Puedo pensar en un subgrupo de cubo de Rubik con <strike>cuatro</strike> elementos dos que conmuten con todos otros Rubik cubo:
¿Hay otros?
EDIT: Como han señalado otros, sólo hay dos. Super swap es no en el centro.
El centro del Cubo de Rubik Grupo es sólo la identidad y la super flip. No es terriblemente duro para demostrar que cualquier permutación que se mueve a la ubicación de un cubie no puede estar en el centro.
Así que sólo sale de volteo de los bordes/rotación de las esquinas. Además no es terriblemente duro para demostrar que cualquier permutación que podría estar en el centro debe hacer la misma cosa a TODOS los bordes y/o esquinas. es decir, si se despliega uno de los bordes debe voltear a todos ellos, si se gira una esquina (contador)de las agujas del reloj debe girar en todos ellos (contador)de las agujas del reloj.
Voltear cada borde de la super-flip y funciona.
Rotando cada esquina de las agujas del reloj no es una permutación posible. Esto es debido a que no hay manera de girar sólo una esquina. El más cercano que podemos hacer es girar una esquina a la derecha y otra de la esquina a la izquierda. En otras palabras, si se le asigna un +1 a todos los de las agujas del reloj rincón vueltas y de -1 a todos hacia la izquierda de la esquina se convierte, cualquier permutación que sólo gira de las esquinas deben agregar hasta 0 mod 3. Y ya hay 8 esquinas, sabemos que es imposible.
El cubo grupo $C$ puede ser escrito como el producto semidirect
$$C_o \rtimes C_p$$
Donde $C_o$ $C_p$ son de la conocida orientación y permutación de grupos. Si $s$ en el centro de la $C$, es equivalente a que conmutan con todos los elementos en $C_o$$C_p$. Asumir por el bien de la contradicción que $s$ ciclos de las piezas de los bordes $\mathcal{P}$: $P_1 \mapsto P_2 \mapsto \ldots \mapsto P_n$ (este es sólo un ciclo en $\mathcal{P}$, e $P_k$ se refiere a la pieza real, no de su posición).
Si $n \neq 2$, vamos a $o \in C_o$ cambiar la orientación de sólo$P_1$$P_2$. A continuación, en relación a $s$, $os$ cambia la orientación de $P_n$$P_1$. Por otra parte, en relación a $s$, $so$ cambia la orientación de $P_1$$P_2$. Estos no pueden ser reconciliados.
Si $n=2$, luego deje $o \in C_o$ cambiar la orientación de $P_1$ y algunos $P$ no en el $2$-ciclo. A continuación, en relación a $s$, $os$ sólo cambia la orientación de $P_2$ y algunos $P' \neq P_1$. Por otra parte, en relación a $s$, $so$ sólo cambia la orientación de $P_1$$P \neq P_2$.
Por lo tanto, $s$ no puede ciclo de los bordes. Por un argumento similar, $s$ no puede ciclo de las esquinas. Por lo tanto, $s \in C_o$.
Asumir por el bien de la contradicción que $s$ volteretas en el borde de la pieza de $P_1$ pero no voltear borde de la pieza de $P_2$. A continuación, vamos a $p \in C_p$ swap $P_1$$P_2$. A continuación, $sp$ volteretas $P_2$ pero no $P_1$, e $ps$ volteretas $P_1$ pero no $P_2$.
Por lo tanto, $s$ debe voltear todas las piezas de los bordes, o flip ninguno.
Por un argumento similar, $s$ deben girar todas las piezas de esquina en la misma dirección, o girar a ninguno. Esto es imposible, porque cada movimiento en el cubo de Rubik que afectan a las esquinas tiene un total de paridad de $0$, y la rotación de todos los rincones como la paridad de $1$ o $2$. (Esto depende de cómo se defina la paridad)
Por lo tanto, la única posibilidad es la superflip o la identidad.
Nota: Para evitar caer en tecnicismos inútiles, la solución anterior no es muy riguroso.
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