Cohomología de Rham de perforado múltiple

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema (Lee la Introducción a la Suave Colectores, 17-6):

Deje $M$ ser conectado a un suave colector de dimensión $n \geq 3$. Para cualquier $x \in M$$0 \leq p \leq n-2$, prueban que el mapa de $H^p_{dR}(M) \to H^p_{dR}(M \setminus \{x\})$ inducida por la inclusión $M\setminus\{x\} \hookrightarrow M$ es un isomorfismo. Demostrar que el mismo es cierto para $p = n-1$ si $M$ es compacta y orientable.

Deje $U \approx \mathbb R^n$ ser un gráfico de coordenadas para $x$, y deje $V = M \setminus \{x\}$. A continuación,$M = U \cup V$, e $U \cap V \simeq \mathbb S^{n-1}$, lo $H_{dR}^p(U)\oplus H_{dR}^p(V) \cong H_{dR}^p(V)$, e $H_{dR}^p(U \cap V) \cong \mathbb R$ si $p = 0$ o $p=n-1$, e $H_{dR}^p(U \cap V) \cong 0$ lo contrario. El de Mayer-Vietoris secuencia de $M$ es por lo tanto $$ \cdots \a H_{dR}^{p-1}(\mathbb S^{n-1}) \a H_{dR}^p(M) \xrightarrow{\ell^*} H_{dR}^p(M \setminus \{x\}) \a H_{dR}^p(\mathbb S^{n-1}) \a \cdots $$ donde $\ell : M\setminus\{x\} \to M$ es la inclusión. Para $p \neq 0, 1, n-1$, esto nos da la exacta secuencia $0 \to H_{dR}^p(M) \to H_{dR}^p(M \setminus \{x\}) \to 0$, de la que sigue inmediatamente que $\ell^*: H_{dR}^p(M) \to H_{dR}^p(M \setminus \{x\})$ es un isomorfismo. Para $p=0$, debido a $M$ está conectado, por lo que es$M \setminus \{x\},$$H_{dR}^0(M) \cong H_{dR}^0(M \setminus \{x\}) \cong \mathbb R$, con base a la función constante $f \equiv 1$ en ambos casos, por lo que claramente $\ell^*$ es un isomorfismo.

Para$p=1$$p=n-1$, estoy teniendo problemas. El mapa de $H_{dR}^{p-1}(\mathbb S^{n-1}) \to H_{dR}^p(M)$ es inducida por el mapa $\delta : H_{dR}^{p-1}(U \cap V) \to H_{dR}^p(M)$ se define de la siguiente manera: para$[\omega] \in H_{dR}^{p-1}(U \cap V)$,$\eta \in \Omega^{p-1}(U)$$\eta' \in \Omega^{p-1}(V)$, de modo que $\omega = \eta|_{U \cap V} - \eta'|_{U \cap V}$, por lo que definimos $\delta [\omega] = [\sigma]$ donde$\sigma = d\eta$$U$$\sigma = d\eta'$$V$.

Mi pensamiento es demostrar $\delta = 0$$p=1$$p=n-1$, pero no sé cómo. A mí parece como si $\delta$ se define de este modo siempre se $0$ en cohomology, ya $[\sigma|_U] = 0$ $[\sigma|_V]=0$ $H_{dR}^p(U)$ $H_{dR}^p(V)$ respectivamente, pero estoy seguro de que estoy simplificando algo. Es allí una manera de demostrar el porqué $\delta = 0$ para este Mayer-Vietoris secuencia? O hay una mejor manera de acercarse a este?

EDIT: Ver los comentarios de la solución a la $p=n-1$ de los casos.

Answer 1

Para $p=1$, la de Mayer-Vietoris secuencia nos da la siguiente secuencia exacta: $$ \cdots \a H_{dR}^0(U) \oplus H_{dR}^0(M \setminus \{x\}) \a H_{dR}^0(\mathbb S^{n-1}) \a H_{dR}^1(M) \a H_{dR}^1(M \setminus \{x\}) \a H_{dR}^1(\mathbb S^{n-1}) \a \cdots $$ donde $U \approx \mathbb R^n$ es una coordenada barrio de $x$. Desde $H_{dR}^0(U) \cong H_{dR}^0(M \setminus \{x\}) \cong H_{dR}^0(\mathbb S^{n-1}) \cong 0$, esto se convierte en: $$ \cdots \to \mathbb R^2 \to \mathbb R \a H_{dR}^1(M) \a H_{dR}^1(M \setminus \{x\}) \0 \a \cdots $$ por lo tanto $H_{dR}^1(M) \to H_{dR}^1(M \setminus \{x\})$ es surjective. Para probar la inyectividad, necesitamos $H_{dR}^0(\mathbb S^{n-1}) \to H_{dR}^1(M)$ ser trivial. Para esto, es suficiente para mostrar la $H_{dR}^0(U) \oplus H_{dR}^0(M \setminus \{x\}) \to H_{dR}^0(\mathbb S^{n-1})$ es surjective, lo cual es evidente ya que todos estos $0$-grado cohomology grupos son generados por la constante funciones. Por lo $H_{dR}^0(\mathbb S^{n-1}) \to H_{dR}^1(M)$ es trivial, dándonos ese $H_{dR}^1(M) \to H_{dR}^1(M \setminus \{x\})$ es un isomorfismo.

Para $p=n-1$ si $M$ está conectado, compacta y orientable, a continuación,$H_{dR}^n(M) \cong \mathbb R$$H_{dR}^n(M \setminus \{x\}) \cong 0$, ya que cada orientable conectado el colector de alta cohomology $\mathbb R$ si y sólo si $M$ es compacto, y $0$ lo contrario. Por lo tanto la parte superior de Mayer-Vietoris secuencia se convierte en: $$ 0 \a H_{dR}^{n-1}(M) \a H_{dR}^{n-1}(M \setminus \{x\}) \a H_{dR}^{n-1}(\mathbb S^{n-1}) \a H_{dR}^n(M) \a 0 $$ Por lo tanto $H_{dR}^{n-1}(M) \to H_{dR}^{n-1}(M \setminus \{x\})$ es inyectiva, y $H_{dR}^{n-1}(\mathbb S^{n-1}) \to H_{dR}^n(M)$ es surjective. Desde $H_{dR}^{n-1}(\mathbb S^{n-1}) \cong H_{dR}^n(M)\cong \mathbb R$, obtenemos $H_{dR}^{n-1}(\mathbb S^{n-1}) \to H_{dR}^n(M)$ es un isomorfismo. Por lo tanto $H_{dR}^{n-1}(M \setminus \{x\}) \to H_{dR}^{n-1}(\mathbb S^{n-1})$ es trivial, por lo $H_{dR}^{n-1}(M) \to H_{dR}^{n-1}(M \setminus \{x\})$ es surjective, lo $H_{dR}^{n-1}(M) \to H_{dR}^{n-1}(M \setminus \{x\})$ un isomorfismo.