Una resolución del operador de identidad $I$ en $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ es una descomposición $$I = \sum_{i=1}^n P_i,$$ donde el $\{P_i\}$ son un conjunto de operadores de proyección ortogonales de rango uno. ¿Cuál es la estructura del colector (o del grupo de Lie) del conjunto de todas las resoluciones de la identidad, o equivalentemente de los conjuntos $P_i$ ?
Una suposición ingenua es expresar cada $P_i$ como un producto externo $|\psi_i\rangle \langle \psi_i|$ e identificar cada resolución de la identidad con una base ortonormal $\{|\psi_i\rangle\}$ - cuyo conjunto es difeomorfo a $\mathrm{U}(n)$ (ya que se puede rotar cualquier base ortonormal en otra mediante un operador unitario apropiado). Pero no creo que sea del todo correcto, porque podrías multiplicar cualquier vector base por un factor de fase $e^{i \theta}$ (o en el caso real, $-1$ ) sin cambiar el proyector correspondiente $P_i$ por lo que la base ortonormal contiene información redundante/grados de libertad. (La permutación de los elementos de la base también deja la descomposición sin cambios, pero podemos ignorar esta posibilidad porque no se puede hacer continuamente). La respuesta es $\mathrm{U}(n) / \mathrm{U}(1)^{\times n}$ para eliminar el $n$ factores de fase redundantes, o algo más complicado? Si es así, ¿existe una expresión más sencilla para este grupo cociente?
